2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题[名师原创].doc

2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷 一、填空题： 1.设集合，则满足条件的集合P的个数是___个 2.若，则= 3．已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组，则的 最小值为__________ 4.设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是_____________________ 5.已知函数在处的导数为1，则=___________ 6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ，则___________________为“同形”函数 7.椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： 甲：函数f (x)的值域为（－1，1）； 乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)； 丙：若规定对任意恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有__________个 9.过定点（1,2）的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为 10.若直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是 11.“已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则。”，类比前面结论，若正项数列为等比数列， 12. Rt△ABC中,斜边AB=1,E为AB的中点,CD⊥AB,则的最大值为_________. 13.设A=，B=，记A☉B=max，若A=，B=，且A☉B=，则的取值范围为 。 14.设A为锐角三角形的内角，是大于0的正常数，函数的最小值是9， 则=___ _ 二、解答题 15.已知，． （1）当时，求证：在上是减函数； （2）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围． 16.在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。 ⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c； ⑶求d的取值范围 17.已知：正方体，，E为棱的中点． (Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求证：平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 18.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时, 直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围. 19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型： ，其中，代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且。 ⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M（a）的表达式； ⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。 20.已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）若直线对任意的都不是曲线的切线， 求的取值范围 （3）设，求的最大值的解析式。 参考答案： 1. 4 2. 3. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3 9.32 10. 11. 它的前项乘积为，若，则 12. 13. [1，1+] 14. 4 15．解：（1）当时，， ∵，∴在上是减函数. （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立， ∴不等式恒成立. 当时， 不恒成立； 当时，不等式恒成立，即，∴. 当时，不等式不恒成立. 综上，的取值范围是. 16．解：(1) (2)，20 由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 (3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则 又x、y满足 画出不等式表示的平面区域得： 17. (Ⅰ)证明：连结，则//， …………1分 ∵是正方形，∴．∵面，∴． 又，∴面． ………………4分 ∵面，∴， ∴． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作的中点F，连结． ∵是的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，∴ ． ………7分 ∵是的中点，∴， 又，∴． ∴四边形是平行四边形，//， ∵，， ∴平面面． …………………………………9分 又平面，∴面． ………………10分 （Ⅲ）．　……………………………12分 ． ……………………………15分 18.解: （1）由,得, 则由,解得F（3,0） 设椭圆的方程为,则,解得 所以椭圆的方程为