平面向量的概念及其线性运算精要.ppt

【思路点拨】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解. (2)将向量 分解为以点P为起点的两向量的差，然后化简即可. (3)结合图形，利用向量加法的法则可证得结论. 【规范解答】(1)选A. (2)选D.由题意得 (3)如图所示，∵E，F分别是AD与BC的中点， 【拓展提升】 1.向量线性运算的一个关系 (1)当向量a,b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且满足|a|-|b||a+b||a|+|b|. (2)当a,b共线同向时，则a+b的方向与a,b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a,b共线反向时，若|a||b|，则a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|;若|a||b|，则a+b与b同向，且|a+b|=|b|-|a|;若|a|=|b|,则a+b与a(b)同向，且|a+b|=0. 2.两个结论 (1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则 (2)向量加法的多边形法则: 【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了. 【变式训练】(1)在△ABC中， 若点D满足 【解析】 (2)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子： 其中正确式子的序号为____________. 【解析】 答案:②③ 考向 3 共线向量定理及其应用 【典例3】(1)已知向量a,b,c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于( ) (A)a (B)b (C)c (D)0 (2)设两个非零向量a与b不共线. ①若 ＝a+b， ＝2a+8b， ＝3(a-b). 求证：A，B，D三点共线； ②试确定实数k，使ka+b和a+kb共线. 【思路点拨】(1)根据向量共线的充要条件得到向量的关系 式，比较系数可得结论. (2)①先证明 共线，再说明它们有一个公共点,从而 得证；②利用共线向量定理列出方程组求k. 【规范解答】(1)选D.∵a+b与c共线， ∴a+b=λ1c. ① 又∵b+c与a共线， ∴b+c=λ2a. ② 由①得：b=λ1c-a. ∴b+c=(λ1+1)c-a=λ2a， ∴a+b+c=-c+c=0. ②∵ka+b与a+kb共线， ∴存在实数λ，使ka+b＝λ(a+kb)， ∴k＝±1. 【互动探究】本例(2)②条件不变，结论若改为“若向量ka+b和向量a+kb反向，求k的值”，则结果如何？ 【解析】∵ka+b与a+kb反向共线， ∴存在实数λ，使ka+b＝λ(a+kb)(λ0)， 又λ0，∴k=-1.故当k=-1时两向量反向共线. 【拓展提升】三点共线的表示 【变式备选】已知点G是△ABO的重心(三边中线的交点)，M是 AB边的中点. (1)求 (2)若PQ过△ABO的重心G， 求证： 【解析】 【易错误区】概念理解不清致误 【典例】(2013·郑州模拟)已知向量a,b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ-1)b,若c与d同向，则实数λ的值为______. 【误区警示】解答本题时，由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解. 第四章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念 (1)定义：既有______，又有_____的量叫做向量. (2)表示方法： ①用字母表示：a,b,c； ②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示：如 其中有向线段的长度表示向量的_____，箭头所指的方向表示 向量的_____. (3)模：向量的_____叫做向量的模，记作|a|,|b|或 大小 方向 大小 方向 长度 2.特殊向量 长度相等且方向____的向量 相反向量 长度相等且方向_____的向量 相等向量 方向___________的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 平行向量 长度等于_________的向量 单位向量 长度等于__的向量，其方向是_______，记作0 零向量 说明 名称 0 任意的 1个单位 相同或相反 相同 相反 3.向量的加法与减法 (1)向量的加法： ①三角形法则：已知非零向量a,b,在平面内任取一点A，作 =a, =b,则向量 叫做a与b的和，记作____,即_____= 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形 法则； ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为 邻边作□OACB，则以O为起点的对角线 就是a与b的和，这种 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形