[原创]-人教版“直线与平面”错解点击[最终版].doc

“直线与平面”错解点击 四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理 641500 (0832)3358610 maoshili@126.com 在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错． 下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力． 例1 证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上． 错解 如图, 对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影． 在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O， ∴点P在平面上的射影在BC上． 点击 这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉． 正解 AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足． 则BC是AC在平面上的射影． 在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足为O． ∴AB⊥， ∴PO ∥AB， ∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC， ∴ O∈BC． 例2 已知、是两个不重合的平面， ①若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面∥平面； ②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面； ③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面； 以上正确命题的个数为( )． (A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 错解 三个命题都正确，选(D)． 点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况． (1) (2) (3) (4) 而判断③是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”． 正解 因为三个命题都不正确，所以选(A)． 例3 如图 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E1H1，与F1G2是异面直线． 错证1 (直接法) ①连BD，由题设=，=， ∴ E1H1与BD不平行，设其交点为P， 则P∈BD． ∵ ==, 则 F1G2∥BD，∴ PF1G2． ②又E1P平面BCD，且E1∈E1P， ∴ E1平面BCD． 故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线． 错证2 (反证法) 设E1H1与F1G2不是异面直线，则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2． ①设E1H1 ∩F1G2=P， ∵E1H 平面ABD，F1G 平面CBD， 则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上， 则F1G2∩ BD=P，这与F1G2∥BD (∵△CBD中，==)矛盾， ∴ E1H1与F1G2不相交． ②设E1H1∥F1G2， ∵ F1G2∥BD，由公理4知 E1H1∥BD，这与E1H1 BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1与BD不平行，必相交于一点P)矛盾， ∴ E1H1与F1G2不平行． 综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线． 点击 采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上，且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上，只证E1H1与