重积分极坐标.docVIP

重积分 §9.1 二重积分的概念与性质 教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质 教学重点：二重积分的概念 教学难点：二重积分概念的理解 教学内容： 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。 当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积可以这样来计算: (1)、用任意一组曲线网将区域分成个小区域 ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体 。 （假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 从而 (将化整为零) (2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 (以不变之高代替变高, 求的近似值) (3)、整个曲顶柱体的体积近似值为 (积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值) (4)、为得到的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设个小区域直径中的最大者为, 则 (取极限让近似值向精确值转化) 2、平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 面上的区域, 它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。 将分成个小区域 用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积。 当很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为 于是 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分。 3、二重积分的定义 设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域 , 其中:既表示第个小区域, 也表示它的面积,表示它的直径。 作乘积 作和式 若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作 。 即 其中: 称之为被积函数, 称之为被积表达式,称之为面积元素, 称之为积分变量,称之为积分区域, 称之为积分和式。 4、几个注意事项 (1)、二重积分的存在定理 若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。 声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)、中的面积元素象征着积分和式中的。 由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。 (3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性质】 其中:是常数。 2、【对区域的有限可加性】 若区域分为两个部分区域,则 3、若在上,,为区域的面积,则 几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4、若在上,,则有不等式 特别地,由于，有 5、【估值不等式】 设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则 6、【二重积分的中值定理】 设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得 【例1】估计二重积分 的值,是圆域。 解: 求被积函数 在区域上可能的最值 是驻点,且 ； 在边界上, ,, 于是有 [例2]比较积分，的大小， 其中是由直线和所围成的。 解：因为积分域在直线的下方，所以对任意点，均有 ，从而有，而，故由二重积分的 性质得 。 小结 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 §9.2 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续。 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截