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二重积分的计算 这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的． 一、矩形上的二重积分的计算 为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法. 定理 12. 4 若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数. 若对每一个x∈[a,b]积分 存在, 则h(x) 在[a,b]上可积, 并有等式 , 它也记为. 这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分. 证明 在[a,b]中插入若干个分点 , 并记 Δxi= xi- xi-1 , (i=1,2,…..,n), 当令λx =max{Δxi | i=1,2,…..,n },要证: . 再在[c,d]中插入若干个分点 , Δyj= yj - yj-1 , (j=1,2,…..,m), 那么, 直线y= yj (j=0,1,2,…..,m), x= xi (i =0,1,2,…..,n) 将D分成m n个小矩形Dij=[ xi-1 , xi ]×[yj-1 , yj] (i =1,2,…..,n, j=1,2,…..,m). 当记 , , 因此, 注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形上以此分划的Darboux小和及大和.. 再令令λy =max{Δyi | i=1,2,…..m }, λ=λx +λy , 由可积性知, , . 又有两边夹易得, 即有, 那么 h(x) 在[a,b]上可积, 并有等式 . 同样我们可得 定理 12. 5 若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数. 若对每一个y∈[c,d]积分 存在, 则g(y) 在[c,d]上可积, 并有等式 , 这时它也记为(也是二次积分或累次积分). 引理 若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的连续函数, 那么 和 分别是[c,d]和[a,b]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数. 证明 只证g(y) 是[c,d]上的连续函数. 由条件知, f(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致连续, 所以,任意ε0, 存在 δ0, 对任意(x1, y1), (x2, y2)∈[a,b]×[c,d],只要 , 有 , 所以 任意y1, y2∈[c,d], 当 |y1 - y2|δ, . 故g(y) 在[c,d]上的一致连续. 由此可得 定理 12.6 若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的连续函数. 则 . 即可交换顺序 . 这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数, 对每一个y∈[c,d]积分存在, 对每一个x∈[a,b]积分 y也存在,.这时定理 12.6 结论仍然成立, 即. 二、一般区域上的二重积分计算 首先我们来讨论是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中是区间上的连续函数，，这样的区域D ，我们称之为－型区域(当然可求面积)．如图12-2-1所示． 当是区间上的连续函数， （如图12-2-2）称为y－型区域 . 定理 12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域上的可积函数，U= [a,b]×[c,d]包含D. 那么 当令 , 那么是U上的可积函数. 并且 . 事实上在D上可积,在U-D上也可积 . 由性质知在U上的可积. 定理 12.8 设为－型区域, f(x,y)是上的连续函数，那么 证明 令 U= [a,b]×[c,d]包含D. 由定理12.7 注意到,当固定x时, 若, =0,;若, . 所以 , 显然 . 例1 计算二重积分，其中是由直线 及所围成的闭区域． 解 区域如图12-2-3所示，可以将它看成一个-型区域， 即 ． 所以 　　　　 也可以将看成是－型区域，，于是 　　　　 有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数． 定理 12.9 设为－型区域, f(x,y)是上的连续函数，那么 如果既不是-型区域也不是y-型区域,如图12-2-4 我们可以将分划成若干个x-型区域和y-型区域的并. 例２　计算二重积分，其中是有抛物线及所围成的有界闭区域． 解：如图12-2-4，区域可以看成是－型区域