- 1、本文档共6页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
重积分概念
第二十一章 二重积分
§1 二重积分概念
教学目的与要求:
1.掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件.
2.了解有界闭区域上的连续函数的可积性.
3.了解平面点集可求面积的充要条件.
教学重点:
二重积分的定义和性质.
教学难点:
二元函数可积条件.
教学过程
一、平面图形的面积
(一)、内、外面积(约当,黎曼外内测度)的概念
直线网分割平面图形P,的网眼中小闭矩形的分类:
(ⅰ)含的全是P的内点,
(ⅱ)含的全是P的外点(不含P的点),
(ⅲ)内含有P的边界点,
记为的第ⅰ类的面积的和.
记为的第ⅰ和第三类的面积的和.
记=,称为P的内面积.
记=,称为P的外面积.
定义1 若平面图形P的内面积等于它的外面积,则称P为可求面积,并称其共同值==为P的面积(约当,黎曼测度)
定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是:对任给的,总存在直线网,使得
. (2)
证明 [必要性]设平面有界图形的面积为.由定义1,有==.对任给的,由及的定义知道,分别存在直线网与,使得
,
记为由与这两个直线网合并的直线网,可证得
,, (3)
于是由(3)可得
,
从而得到对直线网有 ,
[充分性]对任给的,存在直线网,使得(2)式成立.但
,
所以 ,
由的任意性,因此=,因而平面图形P可求面积.
推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积,即对任给的,存在直线网,使得,
,
或对任给的,平面图形P能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖.
定理21.2 平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零.
证明 由定理21.1,P可求面积的充要条件是:对任给的,存在直线网,使得.由于
,
所以也有.由上述推论,P的边界K的面积为零.
定理21.3 若曲线K为由定义在上的连续函数的图象,则曲线K的面积为零
证明 由于在闭区间上连续函数,从而一致连续.因而对任给的,总存在,当把区间分成个小区间并且满足时,可使在每个小区间上的振幅都成立.现把曲线K按自变量分成个小段,这时每一个小段都能被以为宽,为高的小矩形甩覆盖.由于这个小矩形面积的总和为
,
所以由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.
还可证明得到:由参量方程所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积为零.
二、 二重积分的定义及其存在性
背景:求某曲顶柱体的体积时,通过“分割、近似,求和、取极限”的步骤,利用求柱体的体积的方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积分的定义.
定义 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数,用任意曲线把分成个可求面积的小区域:以表示的面积,这些小区域构成的一个分割,以表示的直径,称为分割的细度,在每一个上任取一点(),作和式: ,
称之为函数在上属于分割的一个积分和.
定义2 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数,是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任何分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有
,
则称在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作
=,
其中称为二重积分的被积函数,称为积分变量,称为积分区域.
几何意义:当时,二重积分在几何上表示以为曲顶,为底的曲顶柱体的体积.
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为
直角坐标系下可表示为: =.
可积的必要条件:在可求面积的区域D上有界
函数在可求面积的区域D上有界时,T是D的一个分割,把D分成个可求面积的小区域,令
,,
关于分割T的上和与下和:
,.
定理21.4 在D上可积的充要条件是:
=.
定理21.5 在D上可积的充要条件是:对于任给的正数,存在D的某个分割,使得.
定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积.
定理21.7 设是定义在有界闭区域D上的有界函数.若的不连续点都落在有限条光滑曲线上,则在D上可积.
证明 不失一般性,可设的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上.记L的长度为,于是对任给的0,把L等分成段:
,
在每段上取—点,使段与其一端点的弧长为,以为中心作边长为的正方形,则,从而有记,则为一多边形.设的面积为,那么
,
现在把区域D分成两部分.第一部分.第二部分.由于在上连续,根据定理21.6与定理21.5,存在的分割,使得.又记,,以表示由与多边形的边界所组成的区域D的分割,则有
. ,
其中是在D上的振幅.由于在D上有界,故是有限值.于是由定理21,5就证明了在上可积.
三、二重积分的性质
二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质,现列举如下:
1. 若在区域D上可积,为常数,则在D上也可积,且
=.
2.若,在D
文档评论(0)