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第二十一章 二重积分 §1 二重积分概念 教学目的与要求： 1.掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件. 2.了解有界闭区域上的连续函数的可积性. 3.了解平面点集可求面积的充要条件. 教学重点： 二重积分的定义和性质. 教学难点： 二元函数可积条件. 教学过程 一、平面图形的面积 （一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网分割平面图形P，的网眼中小闭矩形的分类： （ⅰ）含的全是P的内点, （ⅱ）含的全是P的外点（不含P的点）, （ⅲ）内含有P的边界点, 记为的第ⅰ类的面积的和． 记为的第ⅰ和第三类的面积的和． 记=，称为P的内面积． 记=，称为P的外面积． 定义1 若平面图形P的内面积等于它的外面积，则称P为可求面积，并称其共同值==为P的面积（约当，黎曼测度） 定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的，总存在直线网，使得 . （2） 证明 [必要性]设平面有界图形的面积为．由定义1，有==．对任给的，由及的定义知道，分别存在直线网与，使得 ， 记为由与这两个直线网合并的直线网，可证得 ，， (3) 于是由（3）可得 ， 从而得到对直线网有 ， [充分性]对任给的，存在直线网，使得（2）式成立．但 ， 所以 ， 由的任意性，因此=，因而平面图形P可求面积． 推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积，即对任给的，存在直线网，使得， ， 或对任给的，平面图形P能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零． 证明 由定理21．1，P可求面积的充要条件是：对任给的，存在直线网，使得．由于 ， 所以也有．由上述推论，P的边界K的面积为零． 定理21.3 若曲线K为由定义在上的连续函数的图象，则曲线K的面积为零 证明 由于在闭区间上连续函数，从而一致连续．因而对任给的，总存在，当把区间分成个小区间并且满足时，可使在每个小区间上的振幅都成立．现把曲线K按自变量分成个小段，这时每一个小段都能被以为宽，为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为 ， 所以由定理21．1的推论即得曲线K的面积为零． 还可证明得到：由参量方程所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零． 二、 二重积分的定义及其存在性 背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，用任意曲线把分成个可求面积的小区域：以表示的面积，这些小区域构成的一个分割，以表示的直径，称为分割的细度，在每一个上任取一点（），作和式： ， 称之为函数在上属于分割的一个积分和． 定义2 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有 ， 则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作 =， 其中称为二重积分的被积函数，称为积分变量，称为积分区域． 几何意义：当时，二重积分在几何上表示以为曲顶，为底的曲顶柱体的体积. 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为 直角坐标系下可表示为： =. 可积的必要条件：在可求面积的区域D上有界 函数在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域，令 ，， 关于分割T的上和与下和： ,. 定理21.4 在D上可积的充要条件是： =. 定理21.5 在D上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在D的某个分割，使得． 定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积． 定理21.7 设是定义在有界闭区域D上的有界函数．若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在D上可积. 证明 不失一般性，可设的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上．记L的长度为，于是对任给的0，把L等分成段： ， 在每段上取—点，使段与其一端点的弧长为，以为中心作边长为的正方形，则，从而有记，则为一多边形．设的面积为，那么 ， 现在把区域D分成两部分．第一部分．第二部分．由于在上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在的分割，使得．又记，，以表示由与多边形的边界所组成的区域D的分割，则有 ． ， 其中是在D上的振幅．由于在D上有界，故是有限值．于是由定理21，5就证明了在上可积. 三、二重积分的性质 二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1. 若在区域D上可积，为常数，则在D上也可积，且 =． 2．若,在D