金版学案数学选修空间向量的数量积运算.docVIP

数学·选修2－1(人教A版) 3．1　空间向量及其运算 3.1.3　空间向量的数量积运算 课前训练 一、选择题 1．下列式子正确的是(　　) A．a·|a|＝a B．(a·b)2＝a·b C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b| 　 　　　　　　　　　 　　　　 　　 答案：D 2．已知向量a、b是与平面α平行的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B. 答案：B 3．以下四个命题中正确的是(　　) A．若＝＋，则P、A、B三点共线 B．若向量a，b，c不共面，则向量a＋b，b＋c，c＋a也不共面 C．|(a·b)c|＝|a||b||c| D．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 答案：B 4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：因为＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144， 所以||＝12. 答案：C 5．空间四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值是(　　) A. B. C．－ D．0 解析：cos〈，〉＝ ＝ ＝ ＝0. 答案：D 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0， 所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， 所以a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 答案：－13 7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________． 答案： 8．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________. 解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0， 所以18＋(λ＋1)×3×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－. 答案：－ 三、解答题 9．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，求AC′的长． 解析：＝＋＋， 10．如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 解析：(1)＝＋，＝＋. 因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， 所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. 因为1·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0， 所以AB1⊥BC1. (2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝＝||， 所以cos〈，〉＝＝， 所以||＝2，即侧棱长为2. 第三章　空间向量与立体几何 空间向量与立体几何