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金版学案数学选修空间向量的数量积运算
数学·选修2-1(人教A版)
3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算
课前训练
一、选择题
1.下列式子正确的是( )
A.a·|a|=a B.(a·b)2=a·b
C.(a·b)c=a(b·c) D.|a·b|≤|a||b|
答案:D
2.已知向量a、b是与平面α平行的两个不相等的非零向量,非零向量c是直线l的一个方向向量,则c·a=0且c·b=0是l⊥α的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当a与b不共线时,由c·a=0,c·b=0,可推出l⊥α;当a与b为共线向量时,由c·a=0,c·b=0,不能够推出l⊥α;l⊥α一定有c·a=0且c·b=0,故选B.
答案:B
3.以下四个命题中正确的是( )
A.若=+,则P、A、B三点共线
B.若向量a,b,c不共面,则向量a+b,b+c,c+a也不共面
C.|(a·b)c|=|a||b||c|
D.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0
答案:B
4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( )
A.6 B.6
C.12 D.144
解析:因为=++,
所以2=2+2+2+2·+2·+2·=36+36+36+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 90°+2×6×6×cos 90°=144,
所以||=12.
答案:C
5.空间四面体OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值是( )
A. B. C.- D.0
解析:cos〈,〉=
=
=
=0.
答案:D
二、填空题
6.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a=________.
解析:因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,
所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,
所以a·b+b·c+c·a=-=-13.
答案:-13
7.已知a,b是空间两向量,若|a|=3,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为________.
答案:
8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.
解析:由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+(1+λ)a·b+λb2=0,
所以18+(λ+1)×3×4cos 135°+16λ=0,即4λ+6=0,所以λ=-.
答案:-
三、解答题
9.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=5,AD=3,AA′=7,∠BAD=60°,∠BAA′=∠DAA′=45°,求AC′的长.
解析:=++,
10.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
解析:(1)=+,=+.
因为BB1⊥平面ABC,所以·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
所以〈,〉=π-〈,〉=π-=.
因为1·=(+)·(+)
=·+·+2+·
=||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0,
所以AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1.
又||===||,
所以cos〈,〉==,
所以||=2,即侧棱长为2.
第三章 空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
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