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2007年长沙一中自主招生考试数学试卷  2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷 　 一、填空题 1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为　________。 　 2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=　_________　． 　 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=　_________　． 　 4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=　_________　． 　 5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有　_________　个． 　 6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘　_________　时可使得每月所付工资最少，最小值是　_________　． 　 7．已知，则分式=　_________　． 　 8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=　_________　． 　 9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有　_________　个． 　 10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是　_________　． 　 11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值． 　 12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为　_________　． 　 二、解答题（共8小题，满分0分） 13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围． 　 14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积． 　 15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=　_________　． 　 16．求方程组的实数解． 　 17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长． 　 18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若． 求证：AD=AE． 　 19．如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=∠BAF． 　 20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数． 　  2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、填空题 1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为　5　． 考点： 估算无理数的大小．3071545 分析： 根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算，估计结果的整数部分． 解答： 解：∵1＜＜2，1＜＜2， ∴a=﹣1，b=﹣1， ∴= = =（﹣+﹣1）（+） =+2+1， ∵≈1.732，2≈2828， ∴5＜+2+1＜6， +2+1的整数部分为5， 故答案为：5． 点评： 此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数． 　 2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=　3889　． 考点： 二元一次方程组的解．3071545 分析： 将两个方程组中不含字母系数的方程重新组成方程组求x、y的值，再求m+n的值． 解答： 解：联立方程组， 解得， 则m+n=500x﹣489y+640x+20y =1140x﹣469y =1140×3﹣469×（﹣1） =3889， 故答案为：3889． 点评： 本题考查了二元一次方程组的解．结果是将两个方程组重新组合，先求x、y的值，再求m+n． 　 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=　　． 考点： 角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．3071545 专题： 计算题． 分析： 过D作DE⊥AB于E，求出CD=DE，求出∠BDE=30°，求出BD=2BE，CD=DE=BE，根据勾股定理求出AE=AC，求出AB﹣AC=BE，代入求出即可． 解答： 解：过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=