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闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布 孟雨 孟雨 物理工程学院 11级物理学类三班 Email: 1240123245@ 摘要：文章主要采用毕奥萨伐尔定律，通过对闭合载流圆线圈周围磁感应强度分布的求解，得到了求解该同类问题的方法。并采用类似方法，求解了任意闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布，运用此结果又计算了有限长螺线管周围任一点的磁感应强度。 一、 闭合圆线圈周围磁感应强度 右图为空间中一闭合圆线圈，半径为R。不妨假设载流线圈中的电流I沿顺时针方向，易知曲线方程： x2+y2=R2 y=0 现计算该载流回路在空间任一点P(x0,y0,z0)处产生的磁感应强度。在载流回路上任一微元，其与x轴正方向夹角为θ，如上图所示。其位置坐标（Rcosθ,0,Rsinθ）。则P点到该微元的距离 r=Rcosθ-x2+y2+Rsinθ-z2. 源点到场点的单位方向矢量 er=1r*(x-Rcosθ,0,z-Rsinθ) 由 B=μo4п*IdL×err2 得 B=Iμo4п*el×err2*dL 其中 el×er=1r*ijk-sinθ0cosθx-Rcosθyz-Rsinθ=1r*(-y*cosθ,x*cosθ+z*sinθ-R,-y*sinθ) 由 Rθ=L得：dL=Rdθ 故 (1#)BX=μ04π02πIR-ycosθr3*dθBY=μ04π02πIRR-xcosθ-zsinθr3BZ=μ04π02πIR-ysinθr3*dθ*dθ 现对上结果进行分析: ① 垂直环面且过其中心的直线上的磁感应强度 令x=0,y=ro,z=0,则 r=R2+r02 BX=μ0IR4π02π-r0 cosθr3dθ=0BY=μ0IR4π02πRdθr3=-IR2μ02r3BZ=μ0IR4π02π-sinθdθr3=0 ② 无穷远处的磁感应强度分布 对于无穷远处某点P(x0,y0,zo),则有 R0=x02+y02+z02?R 故 1r3=1(Rcosθ-x2+y2+(Rsinθ-z)2)3/2 =(R02+R2-2R(xcosθ+zsinθ))-3/2 =R0-3（1+R2R02-2RR02(xcosθ+zsinθ)）-3/2 ≈R0-3(1+3RR02(xcosθ+zsinθ)) 则式（1#）即 BX=-IRμ0y4πR0302πcosθ+3RR0-2xcos2θ+3RR0-2zsinθcosθdθ=-3Iμ0R2xy4R05BY=IRμ04πR0302πxcosθ+zsinθ-R*1+3RR02xcosθ+zsinθdθ=Iμ0R24R05(3x2+3z2-2R02)BZ=-IRμ0y4πR0302πsinθ+3RR0-2sin2θ+3RR0-2sinθcosθ=-3Iμ0R2yz4R05 同样，若令x=0,z=0,y=r0,，则 Bx=0; By=-Iμ0R22r03; Bz=0 对于①中结果By=-Iμ0R22*1(R2+r02)3/2 ,若有r0?R，则 By≈-Iμ0R22r03 二、 空间任意闭合曲线周围磁感应强度的分布 对于空间曲线x=x(t)y=y(t)z=z(t) ,其中0≤t≤π 现计算对空间任一点P(x0,y0,z0)的磁感应强度。对于空间曲线上一电流元（x(t),y(t),z(t)）,其方向矢量L=xt,yt,zt，该微元到P点的距离r=(x-xt)2+(y-y(t))2+(z-z(t))2。 由该电流元到P点的单位方向矢量er=1r(x0-xt,y0-yt,z0-z(t)) 现定义 ?=x(t)2+y(t)2+z(t)2，则沿电流元方向的单位矢量eL=1?(xt,yt,z(t)),又 dL=x(t)2+y(t)2+z(t)2dt=?dt，故 B=μ04πIdL×err2=Iμ04π(eL×er)r2dL 其中eL×er=1?r*ijkx(t)y(t)z(t)x-x(t)y-y(t)z-z(t) 则 （2#）Bx=Iμ04π02πytz0-zt-xt(y0-y(t))r3dtBy=Iμ04π02πztx0-xt-xt(z0-z(t))r3BY=Iμ04π02πxy-yt-y(x-x(t))r3dt 对于无穷远处P（x0,y0,z0）,则 R0=x02+y02+z02?x2t+y2t+z2(t) 故 1r3=R02+x2t+y2t+z2t-2*x*xt+y*yt+z*zt-32 ≈R0-3*(1+3RO2*(x*xt+y*yt+z*z(t))) 将上式代入（2#）式中便可计算任意空间闭合曲线无穷远处的磁感应强度。 三、 现由（二）中结果直接计算有限长螺线管在空间任意一点的磁感应强度。 设螺线管长度为L，线圈半径R。导线半径r,如右图所示，易知螺线