阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现.docVIP

西安理工大学学报JOURNAL OF XIAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY1999年　第15卷　第3期　Vol.15　No.3　1999 三阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现 郭俊杰　田世杰　封定　廖勇 摘要： 提出一种通用的关于求解一般三阶实对称矩阵特征值与特征向量的快速直接计算方法。首先使用高精度缩根法求出所给矩阵的特征方程，得到了3个特征根（包括重根）。其次运用选主元与最小二乘法相结合的思想，获得了实际运用中较为理想的每个特征根所对应的全部特征向量。关键词： 特征值； 特征向量； 主元； 最小二乘法中图分类号：TB931　O241.6　　　文献标识码： A The Computer Method of Eigenvalues and Eigenvectorsof 3×3 Real Symmetric Matrices GUO Jun-jie， TIAN Shi-jie， FENG Ding, LIAO Yong (Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China) Abstract： This paper suggests a common computation method, i.e. the solution eignvalues and eigenvectors of 3×3 real symmetric matrices. First, the characteristic equation of the matrix are obtained by using the method of highly accurate reduced root so as to achieve three eigenvalues (including heavy root). Second, all the eigenvectors of each eigenvalue which are more ideal for the purpose of accurate scientific computation are obtained by using the thought of combining of the pivote with the method of minimum squares.Key words: eigenvalue; eigenvector; pivot; method of minimum squares 　　矩阵的特征值与特征向量是十分重要的概念。在理论上和实际中，例如在系统工程、物理、力学、机械工程、电子工程、经济管理、三坐标几何量测量等方面有着广泛的应用。但在计算机具体实现时很难求出所有的特征值和特征向量。即使能够求出，其方法具有程序复杂、运算量大、矩阵序列收敛慢、精度比较低等缺点。本文对三阶实对称矩阵特征方程采用高精度一元三次方程求根法，避免不必要的模型误差和迭加误差；运用选主元解线性方程组和最小二乘法相结合的思想来求矩阵的特征向量，解决因特征值的微小误差而引起的特征向量在理论上不存在的问题，减少舍入误差而引起的误差传播，从而达到实际中所需要的理想结果。 1　特征方程求根 　　在本文中记： 为三阶实对称矩阵。矩阵A的特征方程为： λ3+b1λ2+c1λ+d1=0　　　　　　　　　　　　　　(1) 其中，b1=-a11-a22-a33；c1=a11a22+a11a33+a22a33-a212-a213-a223；d1=-det(A)。　　如果b1、c1、d1三数中有一个是较大的数，由于特征方程（1）求根需要多次乘、除、开方运算以及三角函数运算本身的误差，势必会造成很大的舍入误差和累加误差，从而大大地影响了特征根的精度。因此，我们首先采用了缩根法，即： 令b=b1/M, c=c1/M2, d=d1/M3, 使特征方程变成三次方程： x3+bx2+cx+d=0　　　　　　　　　　　　　　　　(2) 且方程（2）的系数的绝对值不超过1。方程（2）的求根步骤如下。　　1) 取 　　2) 若D=0， 则方程（2）有重根： 　　3) 若D＜0，则方程（2）有三个不等根：  其中，; q＞0时θ=π-α, q≤0时θ=α。然后通过放大根法可得特征方程（1）的特征根： λ1=Mx1　　λ2=Mx2　　λ3=Mx3 2　求对应特征值λ的特征向量 　　首先取矩阵： 为了后边便于使用选主元的思想，令取： ρij=bi1bj1+bi2bj2+bi3bj3　 (i=1,2,3; j=1，2，3) 1) 若λ为特征单根。在用高斯消元法解线性方程组时，由于小主元的出现，用它作除数会带入大的舍入误差，再经传播，误差会