阶系统的瞬态响应.docVIP

3.3 二阶系统的瞬态响应 凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。标准形式的二阶系统的微分方程是 (3.27) 或 (3.28) 上两式中，T称为系统的时间常数。称为系统的阻尼系数或阻尼比，称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率。K为放大系数。图3.9是标准二阶系统的结构图。 图3.9 二阶系统的结构图 标准形式二阶系统的闭环传递函数为 (3.29) 二阶系统的状态空间表达式为 (3.30) (3.31) 在式（3.30）和式（3.31）中，设K=1,u(t)为输入函数。二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。同时，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。 3.3.1 二阶系统的单位跃阶响应二阶系统的特征方程为 (3.32) 特征方程的二个根为 (3.33) 这也是二阶系统的闭环极点。从式（3.33）可以看出，二阶系统的参数，是变化的，取值不同，特征方程的根（即闭环极点）可能是复数，也可能是实数。系统的响应形式也因此会有较大的区别。在单位阶跃函数输入下，二阶系统的输出为 (3.34) 下面分几种不同的情况来讨论二阶系统的单位阶跃响应。1. 无阻尼状态（=0）当二阶系统的阻尼比时，我们称二阶系统处于无阻尼状态或无阻尼情况。时，二阶系统特征方程的根是共轭纯虚数根 闭环极点在s平面上的分布如图3.10所示。随变动，闭环极点的位置沿虚轴变化。系统的单位阶跃响应为 (3.35) 响应的时域表达式为 (3.36) 这是一个等幅的正弦振荡。这说明在无阻尼状态下系统不可能跟踪单位阶跃输入的变化。的变化曲线如图3.15所示。 图3.10 时特征根分布图3.11 欠阻尼状态下的闭环极点 2. 欠阻尼状态（）当二阶系统的阻尼系数时，我们称二阶系统的单位阶跃响应是欠阻尼情况或者说二阶系统处于欠阻尼状态。当时，二阶系统特征方程的根是一对共轭复数根： (3.37) 闭环极点在s平面上的分布如图3.11所示。特征方程的根具有相同的实部。特征方程的根的虚部为，我们定义 (3.38) 称为阻尼频率。在图3.11中，设闭环极点与s平面原点的连线和实轴的夹角为，则有 (3.39) 或 (3.40) 系统的单位阶跃响应为 (3.41) 把式（3.41）展开为部分分式 (3.42) 对式（3.42）求拉普拉斯变换，得到 (3.43) 式（3.43）还可以进一步写成： (3.44) 式（3.44）表明，这是一个振幅按指数规律衰减的正弦振荡过程。图3.12是y(t)在欠阻尼情况下的响应曲线。 图3.12 欠阻尼情况下二阶系统的响应曲线 式（3.44）中，正弦振荡的振幅为,可以看出，若越大，振幅衰减得就越快。从图3.11闭环极点分布上，可以看出闭环极点离虚轴越远，振幅衰减得越快。是正弦振荡的频率。图3.11表明，闭环极点离实轴越远，振荡频率就越高。欠阻尼响应随变化的曲线见图3.15。 图 3.13 临界阻尼情况下的闭环极点 3.临界阻尼状态（）当阻尼比时，我们称二阶系统处于临界阻尼状态或临界阻尼情况。在时，二阶系统的特征根为 即二阶系统具有相等的负实数闭环极点。图3.13给出了闭环极点在S平面上的分布。图中用双星号表示特征方程的重根。临界阻尼状态下的单位阶跃响应为 (3.45) 对上式进行拉普拉斯反变换得： (3.46) 其响应曲线见图3.15，在临界阻尼状态下，系统的响应开始失去振荡特性，成为单调变化的曲线。 图3.14 过阻尼状况下的闭环极点 4.过阻尼状态（)当阻尼比大于1时,我们称二阶系统处于过阻尼状态或过阻尼情况。在这种状态下，二阶系统特征方程的根是两个不相等的实数根。图3.14给出了这种情况下闭环极点的分布。系统的闭环极点为 过阻尼状态下系统的单位阶跃响应为 (3.47) 对式（3.47）进行拉普拉斯反变换得 其响应曲线见图3.15，这是两个衰减指数项的叠加。这种情况下，二阶系统的特征方程可以改写为 其中 于是闭环传递函数可写为 (3.49) 式（3.49）表明，过阻尼状态下的二阶系统可以看成是两个时间常数不同的惯性环节的串联。过阻尼状态下的两个闭环极点距虚轴的距离不同。离虚轴近的闭环极点对应的（3.48）式的指数项衰减得慢，因而对输出影响大。而离虚轴远的闭环极点所对应的指数项则衰减得很快，对输出的影响较小。当时，可以将远离虚轴的闭环极点忽略，把系统近似为一阶系统： (3.50) 其相应的单位阶跃响应为 (3.51) 图3.15给出了二阶系统的单位阶跃响应曲线。从图中可以看出，二阶系统单位阶跃响应的形式随阻尼比变化的情况，阻尼比越大，响应振荡越弱。反之，阻尼比越小，响应的振荡越强烈。图3.15中的横坐标采用，主要是为了使纵坐标的输出y(t)仅仅成为阻