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二阶自回归信号模型AR（2） 一 、二阶自回归信号模型 二阶自回归信号模型（AR2）：，其中，，为实数，是零均值，方差的白噪声。 由此可以求出滤波器的传递函数为 可求得极点： 要使系统稳定，两个极点都必须在单位圆里面，则的取值在（,,,）包含的区域里。（）分别取（-0.1，-0.8），（0.1，-0.8），（-0.975，0.95）。 二、通过matlab软件运行并分析结果。 1、程序及其在MATLAB上运行的图 1.1、当时 程序如下： N=1000;x=normrnd(0,1,N,1); b=[1];a=[1,-0.1,-0.8];y=filter(b,a,x); x_mean=mean(x);x_variance=var(x); y_mean=mean(y); y_variance=var(y); x_autocorr=xcorr(x,x,biased); y_autocorr=xcorr(y,y,biased); x_Psd=abs((fft(x))).^2/N; y_Psd=abs((fft(y))).^2/N; subplot(3,2,1);plot(x(1:200));title(经过滤波器前的x的波形图); xlabel(n);ylabel(x); subplot(3,2,2);plot(y(1:200));title(经过滤波器后的y的波形图); xlabel(n);ylabel(y); subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100)); title(x的自相关图);xlabel(x);ylabel(x-autocorr); subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100)); title(y的自相关图);xlabel(y);ylabel(y-autocorr); subplot(3,2,5);plot(x_Psd); title(x的功率谱密度图);xlabel(n);ylabel(x_Psd); subplot(3,2,6);plot(y_Psd); title(y的功率谱密度图);xlabel(n);ylabel(y_Psd); 在matlab上运行的图如下： 图一 1.2、当时 程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=[1,0.1,-0.8]。 在matlab上运行的图如下： 图二 1.3、当时 程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=[1,-0.975，0.95]。 在matlab上运行的图如下： 图三 2、结果分析 2.1、自相关分析 可以用[r,p,k]=residue([1,0],[1,a1,a2])函数求出H(z)的极点和系数，则H(z)可以分解为：，系统的冲击响应：，可以求出其自相关为：。 根据极点计算公式，可求出三种情况下不同的极点： ①当a1=-0.1 a2=-0.8时，利用residue函数求出传递函数H(z)的极点 [r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.1,-0.8])，得到： r = p = k = 0.5279 0.9458 [ ] 0.4721 -0.8458 此时，H(z)=0.5279z/(z-0.9458)+0.4721z/(z+0.8458)，由此可以得到系统的冲击响应：h(n)=(0.5279*0.9458n+0.4721*(-0.8458) n)*u(n) 冲击响应函数的自相关函数为： rhh(m)=0.52792*0.9458|m|/(1-0.94582)+0.47212*(-0.8458)|m|/[1-(-0.8458)2]+0.5279*0.4721*[0.9458|m|+(-0.8458)|m|]/(1+0.9458*0.8458) =2.7808*0.9458|m|+0.9215*(-0.8458)|m| 由于极点的绝对值小于1，而且rhh(m)为0.9458|m|和(-0.8458)|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较大，则自相关函数在衰减的同时出现小幅度波动，且大部分波动都是在零以上波动。 ②当a1=0.1 a2=-0.8时， [r,p,k]=residue([1,0],[1,0.1,-0.8])，得到 r = p = k = 0.5279 -0.9458 [] 0.4721 0.845