阻尼振动的频率.docVIP

也谈阻尼振动的周期和频率 河北省遵化市建明镇中学（064200）郭学山 重庆市第七中学校（400030） 田雨禾 文章提要：本文运用求解二阶常系数齐次微分方程的方法，讨论了在欠阻尼条件下阻尼振动的周期和频率，得到了正确结论为阻尼振动的周期要略大于该振动系统的固有周期，而阻尼振动的频率要小于其固有频率。澄清了一些参考资料上对阻尼振动周期和频率的错误认识。 简谐运动在不考虑摩擦和其他阻力等因素的影响时，振动过程中系统的机械能守恒，所以不管是单摆还是弹簧振子在振动过程中振幅始终保持不变，这种振动称为无阻尼振动。然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于要克服阻力做功，振动系统的机械能不断减少。同时振动系统与周围介质相互作用，振动向外传播形成波，随着波的传播，系统的机械能不断减少，因此振幅也逐渐减小。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动．因为振幅与振动的能量有关，阻尼振动也就是能量不断减少的振动阻尼振动是非简谐运动⑴物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但它振动的周期和频率仍由其自身的结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化；⑵阻尼振动的振幅虽然不断减小，但振动频率并不改变，这是因为振动的频率是由振动物体的自身结构决定的，等于固有频率。 无独有偶，笔者在一些参考书上又看到了这样的习题：“秒摆摆球质量为0.2kg，它振动到最大位移时距最低点的高度为0.4cm，当它完成10次全振动回到最大位移时，因有阻尼作用距最低点的高度变为0.3cm，如果每振动10次给它补充一次能量，使摆球回到原高度，那么1min内总共应补充多少能量？”此题的求解过程就是依据秒摆在做阻尼振动时的周期依然是2秒来做的。 对比以上两种说法，似异而实同。第一种说法只是说明了阻尼振动的周期和频率不随振幅的减小而变化，这一点毫无疑问是正确的。但是它又说阻尼振动的周期和频率仍由其自身的结构特点所决定，言外之意就是等于其固有周期和频率，因为只有固有周期和频率才是由振动系统自身的性质所决定的。第二种说法则非常明确地说就是等于其固有周期和频率。因此，这两种说法无疑都认为阻尼振动的周期和频率等于振动系统的固有周期和固有频率。 以上说法似乎言之凿凿，其实是错误的。教材中只说简谐运动的周期和频率由振动系统本身的性质所决定，称为振动系统的固有周期和固有频率，并未说阻尼振动的周期和频率也由振动系统本身的性质所决定，更没有说等于固有周期和固有频率。笔者认为，要彻底弄清这个问题，还应该进行定量计算。 以弹簧振子在较粘稠的液体中的缓慢运动为例，如图2所示，由流体力学可知，当弹簧振子的速度较小时，其所受阻力的大小和速度的大小成正比，即 由牛顿第二定律，得 式中是阻力系数。以m遍除各项，得 令 ω0为振动系统的固有圆频率，β为阻尼系数，和振动系统的性质以及介质的性质有关。于是，方程可写为 为二阶常系数齐次微分方程，通解为 为了与高中教材吻合，此处只讨论阻力很小的欠阻尼状态的阻尼振动，即β＜ω0，由上式可求出弹簧振子中质点的运动学方程为 其中 A和为待定常数，由初始条件决定。此式中包含两个因子，Ae－βt表示随时间衰减的振幅，表示振动以 为圆频率做周期性变化，二因子相乘表示质点做运动范围逐渐减小的往复运动——阻尼振动，其对应的图线亦如图1所示。 由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期性运动。不过， 是周期变化的，它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动的时间间隔是相同的，于是把的周期叫做阻尼振动的周期，并用T′表示，则有 显然，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐运动的周期（固有周期） 对应的频率则小于其固有频率。 综上所述，阻尼振动的周期和频率是固定的，并不随振幅的减小而改变，但也不等于其固有周期和固有频率。在教学中虽不能讲授有关微分方程的运算，告诉学生正确的结论还是必要的，以免谬种流传，误人子弟！ 参考文献： 漆安慎、杜婵英《力学》 北京 高等教育出版社1997年5月第1版 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册 高等教育出版社1981年第2版 - 2 - - 1 -