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陕西省西安市昆仑中学届高轮复习讲义数学(理科)课时空间中的平行关系
课题:空间中的平行关系
考纲要求:①以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
②能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
教材复习
直线与平面平行的判定和性质
判定定理 性质定理
图形语言
文字语言 若 一条直线与此 的
一条直线平行,则该直线与此平面平行. 如果与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的
与该直线 符号语言 ∥ ∥ 平面与平面平行的判定和性质
判定定理 性质定理
图形语言
文字语言 如果一个平面内有两条 直线都
平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 如果两个平行平面都和第三个平面
那么它们的交线
符号语言 ∥
∥ 垂直于同一个平面的两直线 ;垂直于同一条直线的两平面 .
基本知识方法
线线平行的证法:
常常借助中位线、比例线段、平行四边形等方法证明线线平行;
公理(∥,∥∥).
③线面平行的性质定理(,∥,∥);
④面面平行的性质定理(∥,,∥);
⑤线面垂直的性质定理(,∥);
⑥两直线的方向向量共线证明.
线面平行的证法:
线面平行的定义(无公共点);
②线面平行的判定定理(,,∥∥);
③面面平行的性质定理(∥,∥);
④面面平行的性质(∥,,,∥∥);
⑤证明直线的方向向量与平面的法向量垂直并且该直线不在此平面内.
面面平行的证法:
①面面平行的定义(无公共点);②面面平行的判定定理;③垂直于同一条直线的两个平面平行;④平行于同一个平面的两个平面平行;⑤“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.⑤证明两平面的法向量平行.
典例分析:
考点一 线线平行
问题1.(山东) 如图所示,在三棱锥中,平面,,分别是的中点,,与交于点,与交于点,连接.求证:∥;略.
考点二 线面平行
问题2.( 新课标Ⅱ) 如图,直棱柱中,分别是的中点,.证明: 平面;略.
问题3.(海南高考改编) 如图,在底面是菱形的四棱锥中,,,,点在上,且,在棱上是否存在一点,使∥平面?证明你的结论.
考点三 面面平行
问题4.( 江苏) 如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:平面平面; 略.
课后作业:
(届高三浙江温州二中期中文)如图,已知四棱锥中,⊥平面,是直角梯形,,o,.
求证:⊥;在线段上是否存在一点,使//平面,
若存在,指出点的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.
(届高三福建师大附中期中文)如图,在直角梯形中,,,.将 沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示.(Ⅰ)若为的中点,试在线段上找一点,使 ∥平面,并加以证明;(Ⅱ)略;(Ⅲ)略.
(届高三福建师大附中期中文)在如图所示的多面体中,已知正方形和直角梯形所在的平面互相垂直,,∥,,
求证:平面;略;略;略.
如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,∥,且,在棱上是否存在一点,使平面∥平面?若存在,求点
的位置;若不存在,请说明理由.
走向高考:
(北京)如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,
,平面,且 ,点是的中点.
略; 求证:∥平面;略.
(山东文)如图,在直四棱柱中,
已知,.
求证:;设是上一点,试确定
的位置,使平面,并说明理由.
(北京文)如图,在中,,,分别为,的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图.求证: ∥平面;略.略.
(安徽) 如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,,,都是正三角形;
证明直线∥;求棱锥的体积.
A
B
C
D
图2
B
A
C
D
图1
B
C
D
A
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