隐函数及由参数方程确定的函数的导数相关变化率.docVIP

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法. 教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法 教学内容： 一、隐函数的导数 显函数( 形如y(f(x)的函数称为显函数( 例如y?sin x ( y(ln x(+e x ( 隐函数( 由方程F(x( y)(0所确定的函数称为隐函数( 例如( 方程x(y3 (1(0确定的隐函数为y ( 如果在方程F(x( y)(0中( 当x取某区间内的任一值时( 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在( 那么就说方程F(x( y)(0在该区间内确定了一个隐函数( 把一个隐函数化成显函数( 叫做隐函数的显化( 隐函数的显化有时是有困难的( 甚至是不可能的( 但在实际问题中( 有时需要计算隐函数的导数( 因此( 我们希望有一种方法( 不管隐函数能否显化( 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来( 例1．求由方程e y(xy(e(0?所确定的隐函数y的导数( 解( 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y)(((xy)(((e)(((0)(( 即 e y( y((y?xy((0( 从而 (x(e y(0)( 例2．求由方程y5(2y(x(3x7(0?所确定的隐函数y(f(x)在 x(0处的导数y(|x(0( 解( 把方程两边分别对x求导数得 5y(y((2y((1(21x 6(0( 由此得 ( 因为当x(0时( 从原方程得y(0( 所以 ( 例3( 求椭圆在处的切线方程( 解( 把椭圆方程的两边分别对x求导( 得 ( 从而 ( 当x(2时( ( 代入上式得所求切线的斜率 ( 所求的切线方程为 ( 即( 解( 把椭圆方程的两边分别对x求导( 得 ( 将x(2( ( 代入上式得 ( 于是 k(y(|x(2( 所求的切线方程为 ( 即( 例4．求由方程所确定的隐函数y 的二阶导数( 解( 方程两边对x求导( 得 ( 于是 ( 上式两边再对x求导( 得 ( 隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待. （2）从求导后的方程中解出来. （3）隐函数求导允许其结果中含有.但求某一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去. 对数求导法( 这种方法是先在y(f(x)的两边取对数( 然后再求出y的导数( 设y(f(x)( 两边取对数( 得 ln y ( ln f(x)( 两边对x 求导( 得 ( y(( f(x)([ln f(x)](( 对数求导法适用于求幂指函数y([u(x)]v(x)的导数及多因子之 积和商的导数( 例5．求y(x sin x (x0)的导数( 解法一( 两边取对数( 得 ln y(sin x ( ln x( 上式两边对x 求导( 得 ( 于是 ( 解法二( 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求( y(x sin x(e sin x·ln x ( ( 例6( 求函数的导数( 解( 先在两边取对数(假定x4)( 得 ln y[ln(x(1)(ln(x(2)(ln(x(3)(ln(x(4)]( 上式两边对x求导( 得 ( 于是 ( 当x1时( ( 当2x3时( ( 用同样方法可得与上面相同的结果( 注( 严格来说( 本题应分x(4( x(1( 2(x(3三种情况讨论( 但结果都是一样的( 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程确定的( 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数( 在实际问题中( 需要计算由参数方程所确定的函数的导数( 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难( 因此( 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数( 设x(?(t)具有单调连续反函数t