集合与函数概念学生版.docVIP

第一章 集合与函数概念 知识网络 第1讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的定义域、值域 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域 [误解]因为函数的定义域为，所以，从而 故的定义域是 [正解]因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围 问题2：已知的定义域是，求函数的定义域 [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而 ，所以函数的定义域是 [正解]因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是 即本题的实质是由求的范围 即与中含义不同 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 ★热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1），； （2）， （3），（n∈N*）； （4），； （5）， [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数. （2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数. （3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数. [新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数相同的是( ) A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y= 2．(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是 （ ） A.；B.；C.； D. 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数的定义域为( ) A.;B.；C. ;D. [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数有意义，必须并且只需 ，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 题型2：求抽象函数的定义域