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集备空间向量的数量积运算学案
3.1.3.空间向量的数量积
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.
重点:空间向量的数量积定义和性质
难点:空间向量的数量积性质与运算
学习过程
一、课前准备
复习 1:什么是平面向量与的数量积?
2:在边长为1的正三角形⊿ABC中,求.
二、新课导学 学习探究
探究任务一:空间向量的数量积定义和性质
问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何量,能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题?
新知:
1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量,在空间 一点,作,则叫做向量与的夹角,记作 .
试试:
⑴ 范围 =0时, ;=π时,
成立吗? ⑶ ,则称与互相垂直,记作 .
2) 向量的数量积:
已知向量,则 叫做的数量积,记作,即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思:
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量?
⑵ (选0还是)
⑶ 的几何意义是:
3) 空间向量数量积的性质:
(1)设单位向量,则.(2) .(3) = .
4) 空间向量数量积运算律:
(1)
(2)(交换律).
(3)(分配律)
5)⑴ 吗?
⑵ 若,则吗?
⑶ 若,则吗?
典型例题
自主学习课本例题1、例题2
变式:课本例题2改编:题目原条件不变,增加:设线段AA1= 1,DD1=2,A1D1=3,求线段AD的长。
例题1.(1).设,,且,求向量的模.
(2).已知,,,,问实数取何值时与垂直.
(3).若,且,求的值.
变式:已知向量,向量与的夹角都是,且,
试求:(1);(2);(3).
例题2 如图,在空间四边形中,,,,,
,,求与的夹角的余弦值
变式:在正三棱柱ABC-ABC中,若AB=BB,则AB与CB所成的角为( )
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
三、总结提升学习小结
1.向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
课后反思:
知识拓展:
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题,求两条直线的夹角和线段长度的新方法.
课后练习
(一)选择题
1.若,且,则与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知,则( )
A.22 B.48 C. D.32
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3.则( )
A.1 B.3
C.0 D.-3
4.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足,则△BCD是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定
5.设a,b,c是任意的非零向量,且它们互相不共线,则下列命题:
(a·b)·c-(c·a)·b=0;
|a|-|b||a-b|;
(a·b)·c-(c·a)·b不与c垂直;
(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的有( )
A. B.C.D.
6.若向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则c·a=0且b·c=0是lα的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.-2
.在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角为135°的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则向量a与b之间的夹角〈a,b〉为( )
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
.(2011年太原模拟)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
,则与的夹角为______.
12.下列命题中:(1)则=0或=0;(2) ;(4)若与均不为,则它们必垂直.其中真命题的序号是______
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