中国石油大学高等数学8-1课件综述.ppt

第八章  多元函数微分学 第八章 多元函数微分学 8.1 多元函数的极限与连续 8.2 偏导数 8.3 全微分 8.4 多元复合函数微分法 8.5 隐函数的微分法 8.6 多元函数微分法在几何上的应用 8.7 方向导数和梯度 8.8 多元函数的极值 8.1 多元函数的极限与连续 8.1.1 平面点集的知识 1. 邻域 定义： 邻域. 空(去)心邻域 二维空间 如： 为开集． 内点： 开集： 边界点： 边界： 2. 区域 区域（或开区域）：连通的开集． 例如， 例如， 开区域 闭区域： 闭区域 是有界闭区域； 是无界开区域． 例如， 有界点集： 无界点集：非有界点集. (a) 内点一定是聚点； 注： 例 (b) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 3. 聚点 类似地可定义三元及三元以上函数． 定义： 8.1.2 多元函数的定义 求 的定义域． 例1 解 所求定义域为 二元函数 的图形 二元函数的图形通常是一张曲面. 8.1.3 多元函数的极限 定义1： 二重极限 定义2： 注： （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似； （2）定义中 的方式是任意的； 例2 解 例3 解 例4 解 其中 确定极限不存在的方法： 例5 解 例6 解 8.1.4 多元函数的连续性 定义1： 定义2： 定义3： 例7 例8 闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 在有界闭区域 上的多元连续函数，在 上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域 上的多元连续函数，如果在 上取得两个不同的函数值，则它在 上取得介于这两值之间的任何值至少一次． 例7 解 故函数在(0,0)处连续. 例8 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．