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《混沌》课程论文 题目：大自然中的几何学——分形 学号：110309217 姓名： 李琦 专业：材料成型及其控制工程 班级：材料1102 摘要：在自然界中，由于不规则现象是普遍存在的。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流。为了研究这些不规则的现象，我们建立了一种思维上的理论存在——分形。 什么叫分形？？？? 1967年曼德布罗特在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1967年法国数学家曼德布罗特提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。?? 答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。?? 自相似性的介绍：? 自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形.?例如：几种典型的分形? 三分康托集? ??1883年，德国数学家康托提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程?? 构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的?1/3?部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的?1/3?段。如此不断的分割下去，?最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。?三分康托集的?Hausdorff维数是0.6309。 Koch?曲线? ??1904年，瑞典数学家柯赫构造了?“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch?曲线也有很多种，比如三次?Koch?曲线，四次?Koch?曲线等。下面以三次?Koch?曲线为例，介绍?Koch?曲线的构造方法，其它的可依此类推。? 三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的?1/3?处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的?1/3?处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了?6?次的图形) 谢尔宾斯基地毯：? 谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的。将一个实心正方形划分为9个小正方形，去掉中间的 小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。 分维：? ?在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一