项目矩阵的特征值与特征向量.docVIP

项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A的特征向量为 (3) 利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵的特征值与特征向量. 输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, ,} (2) 计算矩阵A的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.3483} (3) 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 (4) 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 (5) 同时计算矩阵A的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包LinearAlgebra`Orthogonalization`后,还可以做以下的运算: GramSchmidt[ ]:用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化; Normalize[ ]:将向量组单位化; Projection[vect1,vect2]:求从向量组vect1到vect2的正交映射. 输入 LinearAlgebra’Orthogonalization’ GramSchmidt[Eigenvectors[N[A]]]//MatrixForm 则输出 例1.3 求方阵的特征值和特征向量. 输入 Clear[M]; M={{1,2,3,},{2,1,3}{3,3,6}}; Eigenvalues[M] Eigenvectors[M] Eigensystem[M] 则分别输出 {-1,0,9} {{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}} {{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}} 例1.4 (教材 例1.2) 求矩阵的特征值和特征向量的近似值. 输入 A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[A] 则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用 近似形式输入矩阵,则输出结果也采用近似形式来表达. 输入 A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[A] 则输出 {{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311}, {{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i}, {0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i}, {-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}} 从中可以看到有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实 特征值的特征向量是实的. 例1.5 (教材 例1.3) 已知2是方阵的特征值,求. 输入 Clear[A,q];