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第24题 雪花曲线 　　设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形，第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作Kn(n=1，2，3，…)。它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。 　　现在问：四多边形Kn的周长是多少？凹多边形的面积是多少？ 　　分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。 　　　 　　欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。 　　解：设第n条曲线的长为Ln，所围的面积为An。初始三角形的周 　 　　或通项公式： 　　对于面积的计算，我们先列表24—1。 　　由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，　 　 　　面积可以从如下两个角度求得： 　　(1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式： 　　(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个　 　 　　回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？ 　 　　…… 　　 　　上述n个等式相加得通项公式： 　　也可用数学归纳法加以证明。 　　(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。曲线序列中的向于无限长。然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。 　　如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A结果怎样？ 　　如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道： 　　注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。 　　科克曲线是有限区域中长度无限的曲线，这一自相矛盾的结果曾使本世纪初思考过这一问题的许多数学家感到困惑。科克曲线是一个怪物，它触犯一切关于形状的合理直觉。几乎不用说，它不同于在自然界里见到的任何事物，成了一种反常现象。 　　20世纪初的某些数学家，设想过一批用添加或除去无穷多部分的方法制造的形体，它们也具有科克曲线的一些古怪性质。例如席尔宾斯基 　　这是一个看起来像立方体的架子，它具有无穷大的表面积，但体积有限。 　　利用计算机，专家们创造了更多的十分奇怪、美丽的图形。起初，人们以为这类曲线、图形是数学家们的创造物，也不曾在现实世界中遇到过它。但到1975年诞生的一个新的数学分支——“分形几何学”——才赋予了它更深刻、更丰富的内涵。 　　科学家们对于自然过程中不规则模式的探究，和对无穷复杂的形状的探索，发现了一种自相似性。分形的意义就是自相似。自相似是跨越不同尺度的对称性。它意味着递归，图案之中套图案。科克曲线这类怪物也显示出自相似，因为在高倍放大下它看起来依然如故。自相似是一种很容易辨认的性质，它的形象在生活中比比皆是。 　　今天，分形几何学已经在许多学科，例如，物理、化学、生物、地理、天文、材料科学等方面，都得到了广泛的应用。 练习24 　　1．平面上有100个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任何三个圆都不相交于同一点，问这些圆把平面分成多少部分？ 　　2．赌徒甲、乙各有赌本50元、20元，他们以掷一个硬币赌博，规定每掷一次，若正面朝上则甲付给乙1元，反之，则乙付给甲1元。如此继续下去，直至一赌徒输光。求下列事件的概率：(1)甲输光；(2)乙输光；(3)永不停止。 　　3．如果将正三角形的每边三等分，以中间一段为边向形内割去小正三角形；再在剩下图形的每边三等分，向形内割去以中间一段为边的更小正三角形。如此继续下去，所得的图形外边界称为反雪花曲线，如图24—5，试对它进行数学上的讨论。 7