应用时间序列分位数回归精要.docx

目录 一、为什么需要分位数回归 二、总体分位数 三、样本分位数 四、分位数回归的估计方法 五、分位数回归模型的估计 六、R软件操作分位数回归  一、为什么需要分位数回归？ 1、一般的回归模型着重考察x对y的条件期望E(y|x)的影响，如果y|x不是对称分布，则E(y|x)难以反映条件分布的全貌。如果能够估计条件分布y|x的若干重要的条件分位数，比如中位数等，能够更加全面的描述被解释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析被解释变量的条件期望（均值）。不同分位数下的回归系数估计量常常不同，即解释变量对不同水平被解释变量的影响不同。 2、使用 OLS 进行“均值回归”，由于最小化的目标函数为残差平方和，容易受极端值影响。“分位数回归”，使用残差绝对值的加权平均作为最小化的目标函数，不易受极端值影响。而且，分位数回归对误差项并不要求很强的假设条件，因此对于非正态分布而言，分位数回归系数估计量则更加稳健。 二、总体分位数 假设Y为连续型随机变量，其累积分布函数为Fy(·)。Y的“总体q分位数”，记为yq，满足以下定义式：q = P (Y≤yq)= Fy(yq)? ? 总体q分位数正好将总体分布分为两部分，其中小于或等于yq的概率为 q，而大于yq的概率为 (1-q )。 如果q =1/ 2，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。 如果Fy(·)严格单调递增，则有yq=Fy-1 (q) 对于回归模型，记条件分布 y | x 的累积分布函数为F y | x (·)。 条件分布y | x 的总体q分位数，记为yq，满足以下定义式： q= F y | x (yq) 假设F y | x (·)严格单调递增，则有yq= F y | x -1(q) 由于条件累积分布函数F y | x (·)依赖于x ，故条件分布 y | x的总体q分位数yq也依赖于x，记为yq (x)，称为“条件分位数函数”。 对于线性回归模型，如果扰动项满足同方差的假定，或扰动项的异方差形式为乘积形式，则yq (x)是x的线性函数。 证明如下： y=x’β+ u u=x’α·ε ε~ iid(0,σ2) 不失一般性，假设x’α0。 如果x’α为常数，则扰动项 u 为同方差；反之，则为乘积形式的异方差。 根据定义，条件分位数函数yq (x)满足 q=P｛y≤yq (x)｝ (条件分位数的定义) =P｛x’β+ u≤yq (x)｝ =P｛u≤yq (x) – x’β｝ =P｛x’α·ε≤yq (x) – x’β｝ =P｛ε≤(yq (x) – x’β)/( x’α)｝ =Fε(yq (x) – x’β)/( x’α)) 其中，Fε(·)为ε的累积分布函数。因此，(yq(x) – x’β)/( x’α)= Fε-1 (q)。yq(x)= x’β+ x’α*Fε-1(q)，故yq (x)是x的线性函数。 在同方差的情况下，x’α为常数，所有条件分位数函数{yq(x),0q1}的斜率都等于β，只有截距项x’α*Fε-1 (q)依赖于 q。 一般地，条件分位数函数的“斜率”也依赖于 q，记为βq。 在下文中，假设条件分位数函数是解释变量 x 的线性函数。 三、样本分位数 对于随机变量Y，如果总体的q分位数yq未知，可使用样本 q分位数 yq 来估计yq。 将样本数据{y1,y2,…,yn}按从小到大的顺序排列为{y(1),y(2),…, y(n)}。 yq 等于第[nq]个最小观测值，其中n为样本容量，[nq]表示大于或等于nq而离nq最近的正整数。 【例】n= 97，q =0.25，则[nq]=[97* 0.25]=[ 24.25]= 25。 但这种方法不易推广到回归模型。 一种等价方法是，将样本分位数看成是某最小化问题的解。 样本均值也可看成是最小化残差平方和的解： minu i=1nyi-μ2 ? u=y=1ni=1nyi 样本中位数可视为“最小化残差绝对值之和”问题的解： minμ i=1nyi-μ μ=median{ y1,y2,…,yn } 为什么求解这个最小化问题会得到样本中位数呢？ 因为只要μ的取值偏离中位数，就会使得残差绝对值之和上升。 例 考虑一个样本容量为99 的样本，假设其样本中位数(即第50个最小观测值)为 10。 ……49 1050th 12……49 假设第 51 个最小观测值为 12。如让 μ=12而不是10，则对于前50 个观测值而言，其残差绝对值yi-μ都将增加 2；对于后 49 个观测值而言，其残差绝对值yi-μ都将减少 2。 故总变动为(50*2) -( 49*2)=2，故第 51个最小观测值不如第50个最小观测值(中位数)更能使目标函数最小化。 同理，第49个最小观测值也不如第50个最小观测值。 由此可知，第 50个最小观