高(下)数学球的体积和表面积教学讲义.docVIP

1.3.2 球的体积和表面积教学讲义 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=. 注意：球的体积和表面积公式的证明略或以后证明. 应用示例 例1.一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 解：设球未取出时高，球取出后水面高，如图2． 因为， 所以以为底面直径的圆锥容积为： ， ． 球取出后水面下降到，水的体积为： ， 而，即，，故球取出后水平面的高为． 例2．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径 例3.已知圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为，求圆台的上下底面半径 例4.（1）一个球外接于正四面体，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________. （2）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________. 分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为，于是球的半径为，V=.答案： 例5.底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3. 分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为 cm的正方形，所以注水高为(1+) cm.故应注水π(1+)-4×π cm3.答案：（+）π 课堂练习：若正方体的棱长为a， 则⑴正方体的外接球直径＝ . ⑵与正方体所有棱相切的球直径＝ . ⑶正方体的内切球直径＝ . 2.长方体的共顶点的三个侧面积分别为、、，则它的外接球的表面积为_____. 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________. 题型二 与球有关的简单组合体 1 求体积为V的正方体的外接球与内切球的表面积与体积 2 棱长为a的正方体内接于球，求球的表面积 3 正方体的内切球与外接球的半径之比为多少？ 4 若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为多少？ 5 半球内有一内接正方体，求这个半球的表面积与正方体的表面积之比 6 长方体一个顶点上三条棱长分别为3,4,5，且它的顶点都在同一个球面上，求这个球 的表面积 7 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球的四个面都相切，求棱锥的全面积 与球的表面积 例1.如图1(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积. 图1 解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=,又∵4πR2=324π,∴R=9. ∴AC=. ∴a=8. ∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576. 知能训练 1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍 分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，（倍）. 答案：C 2.（2006安徽高考，理9）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×知，a=1，则此球的直径为. 答案：A 3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________. 分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为=5，所以球的表面积是4π×52=100π. 答案：10