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高中数学《直线的倾斜角与斜率》教案新人教A版必修
新人教A版必修2
3.1.1 直线的倾斜角与斜率(1)
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》(人教版)第三章直线方程第一节直线
的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一,有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分;另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑:
1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;
2. 斜率计算公式的运用.
三、教学目标
知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
2.理解直线的倾斜角的唯一性.
3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
情感态度与价值观
1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神
四、教学重点,难点
重点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
难点:斜率公式的应用。
五、教学过程
(一).复习旧知
问题1:正切函数的定义及定义域
问题2: 正切函数的图象与单调性
(二).问题情境
问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.
问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
问题5: 我们知道,两点确定一条直线.一点能确定一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
(三).形成定义
定义1:直线倾斜角的概念: x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
问题5:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α<180°.
问题6: 倾斜角的用处是什么?
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
问题7:直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
结论:确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α,二者缺一不可.
定义2:直线斜率的概念:直线倾斜角的正切值叫直线的斜率. 常用表示,
问题8:当直线倾斜角为度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
问题9:斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?
问题10:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
定义3:直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点与,则过这两点的直线的斜率
问题11:(1)直线的倾斜角确定后, 斜率的值与点,的顺序是否有关?
(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式还适用吗?
(四).归纳总结
对于上面的斜率公式要注意下面四点:x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;
(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.
(五).应用举例
例1.已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)求直线AB、AC、BC的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
(六).课堂练习
1.若k≥0,则α的范围是______________。
若k0,则α的范围是________________。
判断正误:
(1)直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α。
(2)直线的斜率为tan β,则直线的倾斜角为β。
(3)所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有斜率。
(七).归纳总结
1.直线的倾斜角
2.斜率的概念
3.斜率的计算公式.
4. 倾斜角与斜率的关系.
(八).课外作业:
必做题 第89页 第1,2,4题
选做题 第 89页 第3题
3
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