高中数学十讲坐标系与曲线的极坐标方程.docVIP

第3讲　坐标系与曲线的极坐标方程 分层训练A级　基础达标演练 (时间：30分钟　满分：60分) 1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，求点到直线l的距离． 解　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)∴点到直线l的距离为2. 2．(2013·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，求点A到圆心C的距离． 解　将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为 x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2. 3．(2012·常州一中期中)在极坐标系中，已知点O(0,0)，P，求以OP为直径的圆的极坐标方程． 解　设点Q(ρ，θ)为以OP为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt△OQP中，ρ＝3cos， 故所求圆的极坐标方程为ρ＝3cos. 4．从极点O作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程． 解　设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)． ∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝. 又M在直线ρcos θ＝4上，∴cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P的轨迹方程． 5．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解　圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ， 设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)， ∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ. ∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示原心在点，半径为的圆． 6．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 解　(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0. (2)由 ①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程． 分层训练B级　创新能力提升 1．求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程． 解　如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)， 则OP＝ρ，∠POA＝θ－， OA＝2×3＝6， 在Rt△OAP中，OP＝OA×cos∠POA， ∴ρ＝6cos.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos. 2．(2012·扬州市调研)已知A是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B是曲线ρ＝12cos上的动点，试求线段AB长的最大值． 解　曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－6)2＝36， 其圆心为(0,6)，半径为6； 曲线ρ＝12cos的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝36，其圆心为(3，3)，半径为6. 所以AB长的最大值＝ ＋6＋6＝18. 3．(2012·泉州模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因为ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝. 4．已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ＝，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 解　由ρ＝，得ρcos2θ＝4sin θ，ρ2cos2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，故所求曲线的直角坐标方程是x2＝4y，故焦点到准线的距离为2. 5．(2012·宿迁联考)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2·sin. (1)将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l和圆C的位置关系． 解　(1)消去参数，得直线l的普通方程为y＝2x＋1. ρ＝2sin，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ， 得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)． 得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(x－1)2＝2. (2)圆心C到直线l的距离d＝＝＜， 所以直线l和⊙C相交． 6．已知极坐标系的极点与直