高中数学奥数培训资料之覆盖.docVIP

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 （内部资料） §29覆盖 一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的．反过来则不然，一个半径为的圆无法盖住单位圆．那么两个半径为的圆能否盖住呢？不妨动手实验一下，不行．为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？……，这里我们讨论的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题． 定义? 设Ｇ和Ｆ是两个平面图形．如果图形Ｆ或由图形Ｆ经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形Ｆ′上的每一点都在图形Ｇ上．我们就说图形Ｇ覆盖图形Ｆ；反之，如果图形Ｆ或Ｆ′上至少存在一点不在Ｇ上，我们就说图形Ｇ不能覆盖图形Ｆ． 关于图形覆盖，下述性质是十分明显的： （１）?? 图形Ｇ覆盖自身； （２）?? 图形Ｇ覆盖图形Ｅ，图形Ｅ覆盖图形Ｆ，则图形Ｇ覆盖图形Ｆ． １．最简单情形――用一个圆覆盖一个图形． 首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到： 定理１? 如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点Ｏ，使得图形Ｆ中的每一点与Ｏ的距离都不大于定长ｒ，则Ｆ可被一半径为ｒ的圆所覆盖． 定理２? 对于二定点Ａ、Ｂ及定角α若图形Ｆ中的每点都在ＡＢ同侧，且对Ａ、Ｂ视角不小于α，则图形Ｆ被以ＡＢ为弦，对ＡＢ视角等于α的弓形Ｇ所覆盖． 在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛．２．一个图形Ｆ能否被覆盖，与图形中任意两点间的距离最大值ｄ密切相关． 以下我们称图形Ｆ中任意两点间的距离最大值ｄ为图形Ｆ的直径． 我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题． 定义? 对于图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ，若图形Ｆ中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖，则称这几个图形覆盖图形Ｆ． 图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ为ｎ个圆是一特殊情形．３．直线形图形覆盖别的图形的问题 解决直线形图形覆盖别的图形的问题，常须较高的智巧，一般的处理方法是通过构造过渡图形，逐步调整，最终获得问题的解决． 4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式 所谓图形Ｆ能嵌入图形Ｇ,其本质就是图形Ｇ能覆盖图形F.例题讲解 ．求证：（１）周长为２ｌ的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖． （２）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是２ｌ，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖． ．△ABC的最大边长是ａ，则这个三角形可被一半径为的圆所覆盖．．△ＡＢＣ的最大边BC等于ａ，试求出覆盖△ABC的最小圆． 4．以ＡＢＣＤ的边为直径向平行四边形内作四个半圆，证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形． 5．求证：一个直径为１的圆不能被两个直径小于１的圆所覆盖． 6．给定一个半径为１的圆，若用半径为的圆去覆盖它，问至少要几个才能盖住． 7．证明直径为１的图形Ｆ可被单位正方形覆盖． 8．直径为１的图形Ｆ可被一个边长为的正三角形覆盖，试证明之．．试证面积为S、周长为P的四边形一定可嵌入一个半径为的圆.．在一个半径等于18的圆中已嵌入16个半径为3的圆.证明在余下的部分中还能嵌入9个半径为1的圆.例题答案：１．分析? （１）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合． （２）＂曲＂化＂直＂．对比（１），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心． 证明? （１）如图４５－１，设ＡＢＣＤ的周长为２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ为周界上任意一点，不妨设在ＡＢ上，则 ∠１≤∠２≤∠３，有ＯＰ≤ＯＡ． 又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ，故ＯＡ＜． 因此周长为２ｌ的平行四边形ＡＢＣＤ可被以Ｏ为圆心；半径为的圆所覆盖，命题得证． （2）如图45-2,在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l.又设RQ中点为G，M为线圈耻任意一点，连MR、MQ，则 因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．２．分析? ａ为最大边，所对角A满足６０°≤A＜１８０°． 证明 不妨设BC＝ａ，以BC为弦，在A点所在一侧作含60°角的弓形弧（图４５－３）．因６０°≤A≤180°，故根据定理２，△ABC可被该弓形所覆盖． 由正弦定理，弓形相应半径ｒ＝，所以△ABC可被半径为的圆所覆 盖． 显然覆盖△ABC的圆有无穷多个，那么半径为的圆是否是最小的覆盖圆呢？事实并不 尽然． ３．解 分三种情形进行讨论： （１）?? ∠Ａ为钝角，以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ＡBC． （２）?? ∠Ａ是直角，同样以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ABC； （３）∠Ａ是锐角．假若⊙O覆盖△ABC，我们可在⊙O内平移△ABC，使一个顶点B落到圆周上，再经过适当旋转，使另一个顶点落在圆周上，此时第三个顶点A在⊙O内或其圆周上，设BC所对圆周角为α，那么∠BAC≥α，设⊙O直径ｄ，△ABC外接圆直径ｄ０，那么 所以对于锐角三角形ABC，最小覆盖圆是它的外接圆． 今后我们称覆