高中数学完整讲义——空间位置关系的判断与证明垂直关系的判断与证明.docVIP

【例1】 下列说法正确的有 ． ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． ②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直． 【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个． 【例3】 已知在三棱锥中，，求证：⊥． 【例4】 如图，已知三棱锥，，为的中点，且是正三角形，⊥． 求证：⑴ ⊥面；⑵平面⊥平面． 【例5】 如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、、 分别于点、、，求证：，． 【例6】 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．证明：面⊥面． 【例7】 如图，四面体，⊥面，⊥，过作⊥交于，过作 ⊥交于．求证：⊥． 【例8】 如图是正方体下底面中心，，为垂足．求证：平面． 【例9】 如图所示，在正方体中．．求证：⊥面． 【例10】 在长方体中，点，分别在，上且，，求证：面 【例11】 在正方体中，为的中点，为底面的中心．求证：⊥面． 【例12】 在四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，，分别为，的中点．⑴求证：∥平面；⑵若，求证：⊥面． 【例13】 已知平行六面体的底面是菱形，且．求证：⊥． 【例14】 （2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） 【例15】 如图，、、、是空间四点，在中，，，等边所在的平面以为轴可转动．当转动过程中，是否总有？请证明你的结论 【例16】 在正方体中，是的中点，问当点位于上何处时，？ 【例17】 如图，直三棱柱中，，，，是的中点． ⑴求证平面； ⑵当点在上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论． 【例18】 （2000全国，文19） 如图已知平行六面体的底面是菱形，且． ⑴ 证明； ⑵ 当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【例19】 已知四面体， ①若棱，求证 ②若，求证棱． 【例20】 已知三棱锥中，底面，，分别为的中点，于． ⑴求证：平面； ⑵求证：平面平面； ⑶若，求截面分三棱锥所成两部分的体积比． 【例21】 （2009扬州中学高三期末） 在四棱锥中，，，平面，为的中点，． ⑴求四棱锥的体积； ⑵若为的中点，求证平面． 【例22】 （2003京皖春） 如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为．分别为棱的中点，． ⑴求证：平面平面； ⑵求点到平面的距离； ⑶求三棱锥的体积．