高中数学竞赛辅导讲映射及映射法.docVIP

高中数学竞赛辅导第二讲 映射及映射法 知识、方法、技能 1．映射的定义 设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作 （1）映射是特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的. （2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了. （3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的对应法则f，三者缺一不可. （4）对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个. 2．一一映射 一般地，设A、B是两个集合，是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A到B上的一一映射. 3．逆映射 如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给，规定 ，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f—1. 显然有（f—1）—1= f，即 如果f是A与B之间的一一对应，则f—1是B与A之间的一一对应，并且f—1的逆映射是f. 事实上，f—1是B到A的映射，对于B中的不同元素b1和b2，由于它们在f下的原象不同，所以b1和b2在f—1下的像不同，所以f—1是1－1的. 任给，则.这说明A中每个元素a在f—1都有原象.因此，f—1是映射上的. 这样即得f—1是B到A上的1－1映射，即f—1是B与A之间一一对应.从而f—1有逆映射由于任给，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b)=a，所以， f(a)=b，从而，这即是f—1的逆映射是f. 赛题精讲 Ⅰ映射 关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题. 例1：设集合映射f：F→Z.使得的值. 【思路分析】应从入手，列方程组来解之. 【略解】由f的定义和已知数据，得 将两式相加，相减并分别分解因式，得 显然，的条件下， 对应可知 同理，由 对应地，于是有以下两种可能： （Ⅰ） （Ⅱ） 由（Ⅰ）解出x=1，y=9，u=8，v=6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解. 【评述】在解此类问题时，估计的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要. 例2：已知集合求一个A与B的一一对应f，并写出其逆映射. 【略解】从已知集合A，B看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）. 集合A为直线所夹角内点的集合，集合B则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A区域拓展成B区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A和B： 令在这个映射下，极径没有改变，辐角之间是一次函数，因而之间是一一对应，其中 所以，映射f是A与B的一一对应. 逆映射极易写，从略. 【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握. Ⅱ映射法 应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题. 例3：设X={1，2，…，100}，对X的任一非空子集M，M中的最大数与最小数的和称为M的特征，记为求X的所有非空子集的特征的平均数. 【略解】设 于是是X的非空子集的全体（子集组成的集），Y到X自身的满射，记X的非空子集为A1，A2，…，An（其中n=2100－1），则特征的平均数为 由于A中的最大数与A′中的最小数的和为101，A中最小数与A′中的最大数的和也为101，故从而特征平均数为 如果A，B都是有限集合，它们的元素个数分别记为对于映射来说，如果f是单射，则有；如果f是满射，则有；如果f是双射，则有.这在计算集合A的元素的个数时，有着重要的应用.即当比较难求时，我们就找另一个集合B，建立一一对应，把B的个数数清，就有.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例. 例4：把△ABC的各边n等分，过各分点分别作 各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平 行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边 形的个数. 【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性， 先考虑边不行于BC的小平行四边形.把AB边和 AC边各延长一等分，分别到B′，C′，连接 B′C′.将A′B′的n条平行线分别延长，与B′C′相交，连同B′，C′共有n+2个分点，从B′至C′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B′C′于i，j，k，l.记 A={边不平行于BC的小平行四边形}， 把小平行四边形的四条边延长且交边于四点的过程定义为一个映射：. 下面我们证明f是A与B的一一