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高中数学高考综合复习椭圆与双曲线
高中数学高考综合复习
专题二十一 椭圆与双曲线
一、知识网络
二、高考考点 1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质; 2.有关圆锥曲线的轨迹(或轨迹方程)的探求; 3.直线与圆锥曲线的问题:对称问题;最值问题;范围问题等; 4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题; 5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题; 6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。 三、知识要点 (一)椭圆 定义与推论 1、定义1的的认知 设M为椭圆上任意一点, 分别为椭圆两焦点, 分别为椭圆长轴端点,则有 (1)明朗的等量关系: (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系: , (寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据) 2、定义2的推论 根据椭圆第二定义,设 为椭圆 上任意一点, 分别为椭圆左、右焦点,则有: (d1为点M到左准线l1的距离) (d2为点M到右准线l2的距离) 由此导出椭圆的焦点半径公式: 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程 中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程 (1)标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系: (2)标准方程、统一形式: 2、椭圆 的几何性质 (1)范围: (有界曲线) (2)对称性:关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心,椭圆的共性) (3)顶点与轴长:顶点 ,长轴2a,短轴2b(由此赋予a、b名称与几何意义) (4)离心率: 刻画椭圆的扁平程度 (5) 准线:左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性:两准线垂直于长轴;两准线之间的距离为 ; 中心到准线的距离为 ;焦点到相应准线的距离为 . 挖掘与引申 1、具特殊联系的椭圆的方程 (1)共焦距的椭圆的方程 且 (2)同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式: 设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点 , 则 ; 或 。 (二)双曲线 、定义与推论 1.定义1的认知 设M为双曲线上任意一点, 分别为双曲线两焦点, 分别为双曲线实轴端点,则有: (1)明朗的等量关系: (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系: , (寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据) 2.定义2的推论 设 为双曲线 上任意上点, 分别为双曲线左、右焦点,则有 ,其中, 为焦点 到相应准线li的距离 推论:焦点半径公式 当点M在双曲线右支上时, ; 当点M在双曲线左支上时, 。 、标准方程与几何性质 3.双曲线的标准方程 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程为 中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为 (1)标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系: (2)标准方程、的统一形式: 或: (3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式: 4.双曲线 的几何性质 (1)范围: (2)对称性:关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心) (3)顶点与轴长:顶点 (由此赋予a,b名称与几何意义) (4)离心率: (5) 准线:左焦点 对应的左准线 ;右焦点 对应的右准线 双曲线共性:准线垂直于实轴; 两准线间距离为 ; 中心到准线的距离为 ; 焦点到相应准线的距离为 (6)渐近线:双曲线 的渐近线方程: 、挖掘与延伸 1.具有特殊联系的双曲线的方程 对于双曲线 () (1)当λ+μ为定值时,()为共焦点的双曲线(系)方程:c2=λ+μ; (2)当 为定值时,()为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程: ; (3)以直线 为渐近线的双曲线(系)方程为: 特别:与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为: (左边相同,区别仅在于右边的常数) 2.弦长公式 设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点 则 经典例题 1、 (1)若椭圆 的一个焦点是(-2,0),则a等于 。 (2)已知椭圆 的焦点为F1、F2,点P是其上的动点,当 为钝角时,点P的横坐标的取值范围为 。 分析: (1)从此椭圆的标准方程切入。 由题设知已知得: 这里 由此解得
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