高中理科数学轮复习：统计.docVIP

第三节 统计 一、基本知识概要： 1.三种常用抽样方法: （1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。 简单随机抽样的常用方法：①抽签法，②随机数表法 用随机数表进行抽样的步骤：①将总体中的个体编号；②选定开始号码；③获取样本号码。 （2）系统抽样（也称为机械抽样）：当总体的个数较多时，采用简单随机抽样较为费事。这时可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。 系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号；②整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k。当N/n（N为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=N/n;当N/n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N‘能被n整除，这时k=N′/n；③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号1；④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将1加上间隔k得到第2个编号1+k,第3个编号1+2k，这样继续下去，直到获取整个样本）。 （3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做“分层抽样”，其中所分成的各部分叫做“层”。 三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中的个数较少 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 2、总体分布的估计：随着试验次数的不断增加,试验结果的频率值在相应的概率值附近摆动.当试验次数无限增大时,频率值就变成相应的概率了.此时随着样本容量无限增大其频率分布也就会排除抽样误差,精确地反映总体取的概率分布规律,通常称为总体分布. 用样本的频率分布去估计总体分布：由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体分布,一般地,样本容量越大,估计越精确. 总体分布的估计的两种方式(1)频率分布表 (2)频率分布直方图。 3、正态分布的概念及主要性质： ①正态分布的概念：如果连续型随机变量ξ的概率密度曲线为，其中为常数，并且，则称ξ服从正态分布，简记为。 ②正态分布的期望与方差：若，则。 ③正态分布的主要性质：Ⅰ）曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称；Ⅱ）曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右延伸时，曲线逐渐降低；Ⅲ）曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越：“矮胖”；反之曲线越“高瘦”。 ④标准正态分布：当μ=0，σ=1时，可以写成，这时称ξ服从标准正态分布，简记为。 ⑤标准正态分布的函数表： 由于标准正态分布应用十分广泛，已制成专门的标准正态函数表，供人们查阅。在标准正态分布表中，相应于每一个的函数值Φ是指总体取小于的值的概率（函数Φ实际上是正态总体N(0,1)的累积分布函数），即Φ=。φ ⑥若，则①，② 4、线性回归： (1)相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。 (2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。 (3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。 (4)回归直线方程：，其中， 。相应的直线叫回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回归分析。 (5)相关系数： 相关系数的性质： （1）|r|≤1。 （2）|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 二、例题： 例1：某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率相同． 解：（1）简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按１～160编号，相应地制做１～160号的160个签，从中随机抽２０个。显然每个个体被抽到的概率为。 （2）系统抽样法：将160个零件按１～160编号，按编号顺序分成20组，每组8个。先在第一组用抽签法抽得号，则在其余组中分别抽得第号，此时每个个体被抽到的概率为。 （3）分层抽样法：按比例，分别在一级品，二级品，三级品，等外品，是抽取个，个，个，个。每个个体被抽到的概率分别为，，，，即都是。 综上所述，无论采取哪种抽样，总体和每个个体被抽到的概率都是。 说明