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高三回归课本专项检测 数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．复数在复平面上对应的点的坐标是 ▲ ． 2．已知集合，，则 ▲ ． 3．已知函数是奇函数，当时，，则的值等于 ▲ ． 4．某人随机地将标注为的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，全部放完．则标注为的小球放入编号为奇数的盒子中的概率为 ▲ ． 5．右图是一个算法的流程图，最后输出的 ▲ ． 6．设双曲线的渐进线方程为，则双曲线的离心率为 ▲ ． 7．已知是第二象限角，且，则的值为 ▲ ． 8．用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个 无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满 水时的体积是 ▲ cm3． 9．若直线与圆相交于点，且 （其中为坐标原点），则= ▲ ． 10．已知三角形的一边长为5，所对角为，则另两边长之和的 取值范围是 ▲ ． 11．已知，且在区间有最小值，无最大 值，则的最小值为 ▲ ． 12．在轴的正方向上，从左向右依次取点列，，在曲线上从左向 右依次取点列，，使都是等边三角形，其中是 坐标原点，则第2012个等边三角形的边长是 ▲ ． 13．已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则 的值为 ▲ ． 14．若关于的方程有四个实数根，则实数的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知中，分别是角所对的边，且，向量和 满足． （1）求的值； （2）求证：为等边三角形． 16．（本题满分14分） 如图，棱柱的所有棱长都等于2，，平面⊥平面 ，． （1）证明：； （2）在直线上是否存在点，使平面？ 若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 17．（本小题满分14分） 某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定 成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年 多投入100万元，预计产量每年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本 为元（其中k为常数，且）．若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年纯利润为万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）． （1）求的值，并求出的表达式； （2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？ 18．（本题满分16分） 设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合： ① ；②，其中，是与无关的常数． （1）若是等差数列，是其前项的和，，试探究与集合之 间的关系； （2）设数列的通项为，且，的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，设，求证：数列中任意不同的三 项都不能成为等比数列． 19．（本题满分16分） 给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆 的“伴随圆”． 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为． （1）求椭圆及其“伴随圆”的方程； （2）若过点的直线与椭圆只有一个公共点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，求的值； （3）过椭圆 “伴椭圆”上一动点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值，并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知函数，若存在函数使得恒成立，则称是的 一个“承托函数”． （1）若函数（）为函数的一个“承托函数”，求实数的取值范围； （2）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点 个数；若不存在，请说明理由. 高三回归课本专项检测 数学附加题 21．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B．选修4—2：矩阵与变换 已知曲线：. （1）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后，求得到的曲线的方程； （2）求曲线的焦点坐标. C．选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为，其中为参数.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. 求椭圆上的点到直线l距离的最大值和最小值. 22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右第个数． （1）用，表示； （2）记， 求证：当时，．