一、微元法.ppt

* 一、微元法 (1) 所求量 Q 分布在区域?上，且对?具有可加性： ????i Q??Qi Q=??Qi (2)当?? i 很小时，近似地有?Qi ? f (Xi)??i dQ=f (X)d? 二、面积 1. 平面图形面积 例1. 求由抛物线y=(x?2)2+1, 直线y=2x所围图形的面积. 解： y=(x?2)2+1 y=2x ?(1, 2), (5, 10) y=2x y=(x?2)2+1 10 0 1 2 5 2 5 2. 曲面面积 (1)?: z=z(x, y), 投影区域Dxy且 z(x, y)?C 1(Dxy). 思考问题 Dxy ? x y z 0 (2)?: x=x(y, z), 投影区域Dyz (3)?: y=y(x, z), 投影区域Dxz 例2：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积. y z x 解：A=4A1 ? : Dxy: x2+y2≤ax, y≥0. z y x Dxy ? z y x Dxy ? ? A=4A1=2(??2)a2 例3. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积. 解：?: z=x2+y2 Dxy: 1≤x2+y2≤2 z=x2 2 0 1 x y z Dxy ? 一般地，由曲线 z=? (x)(0a≤x≤b)绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积为 其中 D={(x, y)|a2≤x2+y2 ≤b2} 转化为极坐标有 3. 柱面面积 以 xy 平面上曲线 L 为准线，母线平行于 z 轴的柱面被曲面 ? :z=z(x, y)所截，位于 ? 与 xy 坐标面之间的部分的面积为 在L上取ds, 则 故有 对弧长曲线积分的几何意义 z x y 0 L (x, y) ds z(x, y) ? ? y z x 例4. 求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内部的那部分面积. 解：A=4A1 0≤x≤a z y x L z y x L 三、体积 例5. 求由旋转抛物面y=x2+z2抛物柱面 及平面 y=1所围立体体积. 解：V=2V1 y x z 0 1 x 1 0 z y x 1 0 z y 例6. 求圆柱体x2+y2≤ax(a0)被球面x2+y2+z2=a2截得的含在球面内的立体的体积. 解：V=4V1 y z x z y x D z y x D 例7. 计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物面z=2?x2所围立体体积. 解： z=x2+2y2 z=2?x2 ? x2+y2=1 D: x2+y2≤1 D x y z 四、弧长 例8. 求空间曲线?: x=3t, y=3t2, z=2t3从点(0, 0, 0) 到点(3, 3, 2)的一段弧长 解：(0, 0, 0)? t=0; (3, 3, 2) ? t=1 =5 五、质量 几何形体 ? 的质量分布密度为 ?(X), X?? 则 d M= ?(X)d? 故 (1) 平面薄板 D, 质量面密度?(x, y) (2) 立体? ：质量体密度 ? (x, y, z) (3) 曲线型物体 L(? ) ：质量线密度? (x, y) (? (x, y, z)) (4) 曲面型物体 ? ：质量面密度? (x, y, z) 例9. 设球面x2+y2+z2=2及锥面 围成立体?，其质量体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比，且在球面上等于1. 试求该立体的质量. 解：体密度为 ? (x, y, z)=k (x2+y2+z2) (x, y, z)?? 由 得 z y x a 所以 例10. 一个圆柱面x2+y2=R2介于平面 z=0， z=H之间，其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离之平方的倒数，求其质量. 解1. (x, y, z)?? 则 ?= ?1+ ?2 ?2 ?1 x y R R z H ? 且 令?1： ?2： (y≥0) (y≤0) *