高培优讲义函数的性质.docVIP

高一培优讲义函数的性质 一、单调性 1）．确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号） ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为. 1.若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______ 2.已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____ 3.若函数的值域为R，则实数的取值范围是______ 4.若函数在上为增函数,则实数的取值范围是 。 ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如 5.函数的单调递增区间是________. 2）．特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，如: 6.若函数在区间上为减函数，求的取值范围； 3）．函数单调性与奇偶性的逆用：（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如: 7.已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围. 二、函数的奇偶性 1）．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 2）．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法： 8.判断函数的奇偶性____ 9.变式训练: 判断下列函数的奇偶性． 1)f(x)＝lg； (2)f(x)＝(x＋1) ； 3)f(x)＝ (4)f(x)＝. (5f(x)＝＋； (6)f(x)＝. ②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。 10.判断的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。 3）．函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若为偶函数，则. ④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 11.若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______. 12.若为奇函数，则实数＝____. 13.设是定义域为R的任一函数， ，。①判断与的奇偶性； ②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____ ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 4.函数的奇偶性应用 14.已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式； 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)0的实数m的取值范围． 16.若函数f(x)＝loga(x＋)是奇函数，则实数a的值是________． 17.若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)f(lg x)的解集是 （ ） A．(0,10) B. C. D.∪(10，＋∞) 18.函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 19.已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有, （1）求；（2）解不等式。 三．函数的周期性与对称性 1.几种特殊的抽象函数的周期： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数； ③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦函数满足（），若为奇函数，则其周期为， 若为偶函数，则其周期为. 对称性： 函数关于原点对称即奇函数： 函数关于对