高数学——次函数与次函数.docVIP

二次函数与三次函数 自主学习　回归教材 1.已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上具有单调性,那么实数k的取值范围为(　　) A. (-∞,40]　 B. [160,+∞) C. (-∞,40]∪[160,+∞) D. [40,160] 2. (选修1P98第2题改编)函数f(x)=x3-3x2+1的单调减区间为(　　) A. (2,+∞)　 B. (-∞,2)　 C. (-∞,0)　 D. (0,2) 3. (选修1P99第6题改编)函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是　　　　. 4. (选修1P110第7题改编)已知函数f(x)=ax3+x2-x+2在x=-1处取得极值,那么实数a=　　　　. 5. (必修4P33练习5改编)已知函数f(x)=x2-2kx+1在区间(2,+∞)上是增函数,那么实数k的取值范围是　　　　. 要点导学　各个击破 二次函数的综合问题 例1　设函数f(x)=x--alnx(a∈R). (1) 当a=3时,求f(x)的极值; (2) 讨论函数f(x)的单调性. 变式1　已知二次函数f(x)=x2+bx+1. (1) 若函数y=f(x)的图象与x轴没有交点,求实数b的取值范围; (2) 当b-2时,求证:f(x)在区间[-1,1]上是减函数; (3) 若函数f(x)在区间(-1,1)上只有一个零点,求实数b的取值范围. 变式2　已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1) 求实数a,b的值; (2) 若实数b1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. 三次函数的综合问题 例2　已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f. (1) 求实数a的值; (2) 求函数f(x)的单调区间; (3) 设函数g(x)=[f(x)-x3]·ex,若函数g(x)在[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围. 变式　(2014·全国卷)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1) 求实数a的值; (2) 求证:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点. 二次函数与三次函数的综合问题 例3　(2014·惠州一模)设函数f(x)=x3-x2+6x-a. (1) 对于任意实数x,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值; (2) 若方程f(x)=0仅有一个实根,求实数a的取值范围. 变式　(2014·汕头一模)设函数f(x)=x3,g(x)=-x2+ax-a2(a∈R). (1) 若曲线y=f(x)在x=3处的切线与曲线y=g(x)相切,求a的值; (2) 当-1a3时,试讨论函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,3)上的零点个数. 课堂评价 1. (2014·江苏卷)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)0,则实数m的取值范围是　　　　. 2. (2014·广州调研改编)设函数f(x)=x3-ax,g(x)=bx2+2b-1.若曲线y=f(x)与y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,则实数a-b=　　　　. 3. (2014·江西卷)在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能是(　　) 4. (2014·辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A. [-5,-3] B. C. [-6,-2] D. [-4,-3] 5. (2014·浙江卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(　　) A. c≤3　 B. 3c≤6　 C. 6c≤9　 D. c9 完善提高　融会贯通 典例　(2014·东莞模拟)已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a为常数). (1) 如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值. (2) 设a0,问:是否存在x0∈,使得f(x0)g(x0)?若存在,请求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. (3) 记函数H(x)=[f(x)-1]·[g(x)-1],若函数y=H(x)有5个不同的零点,求实数a的取值范围. 【规范解答】　 (1) f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,则f(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a). 令f(x)=0,得