高数学——计数原理.docVIP

第3讲　计数原理与计数问题 自主学习　回归教材 1. (选修2-3P5例3改编)有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　) A. 21种 B. 315种 C. 143种 D. 153种 2. (选修2-3P27A组7改编)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　) A. B. C. D. 3. (必修3P45练习3改编)从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是　　　　. 4. (选修2-3P37习题5(1)改编)二项式的展开式中含项的系数是　　　　. 要点导学　各个击破 分类加法和分步乘法计数原理的应用 例1　(2014·福建卷)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如:“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　) A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D. (1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 变式　在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为　　　　.(用数字作答)? 排列组合的应用 例2　有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排列方法总数. (1) 全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置; (2) 全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边; (3) 全体排成一行，其中男生必须排在一起; (4) 全体排成一行，男、女各不相邻; (5) 全体排成一行，男生不能排在一起; (6) 全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (7) 排成前后二排，前排3人，后排4人; (8) 全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人. 变式　(2014·重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　) A. 72　 B. 120　 C. 144　 D. 168 古典概型与几何概型 例3　(2013·潮州期末)设事件A表示“关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根”. (1) 若a，b∈{1，2，3}，求事件A发生的概率P(A); (2) 若a，b∈[1，3]，求事件A发生的概率P(A). 变式　(1) (2014·广东卷)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为　　　　. (2) (2014·湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组 确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 二项式定理及其应用 例4　(2014·湖南卷)二项式 的展开式中x2y3的系数是(　　) A. -20　 B. -5　 C. 5　 D. 20 变式　(2014·山东卷)若二项式 的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为　　　　. 课堂评价 1. (2014·汕头一模)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A. 4种　 B. 10种　 C. 18种　 D. 20种 2. (2014·全国卷)四位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 3. (2014·湛江二模)在长为6 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于8 cm2的概率为　　　　. 4. (2014·东莞二模)二项式的展开式中常数项为　　　　. 5. (2014·茂名二模)从1，2，3，…，9，10这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数，则满足∈N的方法有　　　　种. 完善提高　融会贯通 典例