高数学几何证明选讲,坐标系与参数方程知识精讲.docVIP

高三数学几何证明选讲；坐标系与参数方程、综合复习（理）人教实验版（A） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 4—1模块 几何证明选讲 4—4模块 坐标系与参数方程、综合复习 二. 重点、难点： 1. 相似三角形的判定及有关性质 2. 直角三角形的射影定理 3. 直线与圆的位置关系 4. 圆锥曲线性质 5. 极坐标系，柱坐标系，球坐标系 6. 曲线的参数方程及其应用 7. 渐开线与摆线 【典型例题】 [例1] 梯形ABCD中，BA//CD，对角线AC、BD交于点E，过E作FG//AB，交AD、BC于G、F点。 （1）求证：EF=EG； （2）求证：； （3）若直线平行于底边但不过E，与BC、AC、BD、AD分别交于、M、N、，试问：与有何关系？并说明理由。 证明：（1）∵AB//FG//CD ∴ ∴EF=EG （2）∵EF//AB 同理， 由（1）知EF=EG ∴ （3）∵ ∴ 而 ∴ [例2] △ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，D、E为垂足，求证：。 思路分析：左边是平方，需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方。 证法一：由射影定理得 ∴ ∵DE⊥AB ∴ CA⊥AB ∴DE//AC ∴ ∴ 证法二：∵ DE//AC ∴ △BED∽△BAC ∴ ∴ 由射影定理 ∴ 证法三：易证△ABD∽△CAD ∴ 又 ∵ DE//AC ∴ ∴ 证法四：∵△ABD∽△CBA ∴ ① ∵ △ACD∽△BCA ∴ ② ∴ ①×②， 而∵，∴ ∴ [例3] 已知△ABC中，DE//BC，且，求证：EF//CD。 思路分析：要证EF//CD，需证，而由，则 证明：∵DE//BC ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ [例4] 已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。 （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）若，BC=10，求DE的长。 （1）证明：∵ AD=AC ∴∠ACD=∠ADC ∵ DE⊥BC，BD=DC ∴BE=CE ∴∠B=∠DCF ∴△ABC∽△FCD （2）解析：过点A作AM⊥BC，垂足为M 由△ABC∽△FCD，BC=2CD ∴ ∴ ∴ ∴ AM=4 又∵DE//AM ∴ ∵ ，BM=BD+DM，BD=BC=5 ∴ ∴ DE= [例5] EB、EC中⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是 。 思路分析：要求∠A，可转化为求∠BCD，由已知∠DCF的度数，想到先求∠ECB的度数，从而注意到题目所给的EB、EC为切线，将∠ECB与∠E的度数联系起来。 解法一：∵EB、EC是⊙O的切线 ∴EC=EB 又∠E=46° ∴∠ECB= ∵∠DCF=32° ∴∠BCD=180°－67°－32°=81° ∵∠A+∠BCD=180° ∴∠A=180°－81°=99° 解法二：连结AC ∵ EB、EC是⊙O切线 ∴ EB=EC ∴ ∠ECB= ∵ EF切⊙O于点C ∴ ∠BAC=∠ECB=67°，∠CAD=∠DCF=32° ∴ ∠BAD=∠BAC+∠DAC=67°+32°=99° 答案：99° [例6] 四边形ABCD内接于⊙O，，E为CB延长线BM上的动点，当E点运动到某一位置满足一定条件时，就有成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明。 思路分析：若成立，则需成立，考虑利用△ABE与△ACD相似，其中∠ABE=∠D，∠ACD=∠ACB，只需∠EAD=∠ACB，只要EA是⊙O切线，∴当EA切⊙O于A时，成立。 证明：连结AC ∵EA切⊙O于A ∴ ∠EAB=∠ACB ∵ ∴∠ACB=∠ACD ∴ ∠EAB=∠ACD 又∵四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠EBA=∠D ∴ △ABE∽△CDA ∴ ∴ [例7] 圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线，过A作的垂线AD，AD分别与直线，圆交于点D、E，则∠DAC= ，线段AE的长为 。 解析：为切线 ∴ OC⊥ ∴ AD//OC ∴ ∠DAO=∠COB=60° ∠CAO=30° ∴ ∠DAC=30° 又∵OA=OE，且∠EAO=60° ∴ AE=OA=OE=3 答案：3