高数学轮精品复习学案：函数及其表示.docVIP

2011版高三数学一轮精品复习学案：函数及其表示 【高考目标定位】 一、考纲点击 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 3．了解简单的分段函数，并能简单应用。 二、热点、难点提示 1．本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图象、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。 2．以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。 【考纲知识梳理】 一、函数与映射的概念 函数 映射 两集合 设是两个非空数集 设是两个非空集合 对应关系 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。 如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。 名称 称为从集合到集合的一个函数 称为从集合到集合的一个映射 记法 ， 对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念 （1）函数的定义域、值域 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域 （2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系 （3）相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。 注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） （4）函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。 （5）分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。 【热点、难点精析】 一、求函数的定义域 1、确定函数的定义域的原则 （1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合; （2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合； （3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合； （4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。 2、确定函数定义域的依据 （1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数； （2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合； （3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合； （4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合； （5）若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出; (6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。 3、例题解析 〖例1〗(09长郡中学月考) 已知、，集合表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则的值为（C） A．??????????? B．0??????????? C．1????????????? D． 〖例2〗 21.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ A ） A. B. C. D. 解析 由已知，函数先增后减再增 当，令 解得。 当， 故 ，解得 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解 〖例3〗试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数； （2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数； （3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数， ∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数； （4