高文科数学——圆锥曲线.docVIP

一、椭圆及其标准方程 1、椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 两种标准方程的比较 (1）表示焦点在x轴上的椭圆，焦点是F1(-c,0),F2(c,0); (2) 表示焦点在y轴上的椭圆，焦点是F1(0,-c),F2(0,c); 在两种标准方程中 a,b,c的关系c2=a2-b2不变，只须将(1)方程的x、y互换即可得到（2）； ∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．离心率e的取值范围：0e1　． 方程 图形 范围 ， ， 对称性 关于 轴、 轴、坐标原点对称 关于 轴、 轴、坐标原点对称 顶点 A1(-a,0)，A2(a,0) B1(0,-b)， B2(0,b) A1(0,-a)，A2(0,a) B1(-b,0)， B2(b,0) 长轴长=2a, 短轴长=2b 离心率 .2、椭圆的第二定义: 动点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 e是椭圆的离心率． 说明：对于椭圆，相应于焦点F（c,0）的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点F`(-c,0)的准线方程是，所以椭圆有两条准线． 例题： 已知椭圆的焦点是F1(-1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. 求椭圆的方程； 若点P在第三象限，且∠PF1F2=120o,求tan∠F1PF2. 二、双曲线及其标准方程 1、平面内与两个定点 F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 |F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在 x轴上，焦点是 F1(-c,0)、F2（c,0），这里c2=a2+b2． 同理，焦点在轴上的双曲线的标准方程是：焦点是 F1(0，-c)、F2（0,c），这里c2=a2+b2. 椭圆与双曲线的几何性质 ? 椭圆 双曲线 方程 、 、 的关系 图形 范围 对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点 顶点 、 、 长轴长 ，短轴长 、 实轴长 虚轴长 离心率 ， ， 渐近线 无 有两条，其方程为 2、双曲线的第二定义 当点 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线．通常称为双曲线的第二定义．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 是双曲线的离心率． 对于双曲线，相应于焦点F(c,0)的准线方程是，根据双曲线的对称性，相应于焦点F’(- c,0)的准线方程是，所以双曲线有两条准线． 例题： 求以椭圆的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 三、抛物线及其标准方程 1、抛物线的定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线． 2、一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 例1： 点 M与点到（4，0）的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1，求点 M的轨迹方程． 例2: 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长. 说明：抛物线 y2=2px（p0）上一点A(xo,yo)到焦点的距离 这就是抛物线的焦半径公式。焦点弦长|AB|=x1+x2+p . 3、抛物线y2=2px（p0）的几何性质 （1）范围：因为p0，由方程可知x≥0，所以抛物线在 y轴的右侧，当 x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 （3）顶点 （4）离心率 (5)通径：过（圆锥曲线）焦点垂直于焦点所在的轴的弦叫做（该圆锥曲线的）通径.抛物线的通径长：2p 练习： 1、若双曲线过点，且渐近线方程为，则双曲线的焦点( ) A．在轴上 B．在轴上 C．在轴或轴上 D．无法判断是否在坐标轴上 2、设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3.已知抛物线y2＝2