高斯与正十边形尺规作图法.docVIP

高斯与正十七边形尺规作图法 【作图原理】 首先要给出一条定理。 定理1： 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，?其中c是方程的实根。?上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。 ? 而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是?的线段。 设 则有 即 ?是方程?的根，由定理1可知，长为和的线段可以做出。? 令 则有同样由定理1可知，长度是?的线段都可以做出来的。? 再由 这样，?是方程?较大的实根。显然也可以做出来。 证毕 1、OD=1/4，2、OA=1，3、DA=170.5/4，4、OA1=(170.5-1)/16， 5、A1A=(17-170.5)/16，6、DA1=(34-2*170.5)0.5 7、O O1=(170.5+1)*((34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1， 9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)， 11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK， 14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5， 16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5， 17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，OJ=OL2， 18、LA=(1+OL2)0.5， 设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又sin16α =2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=2 4 sinαcosαcos2αcos4αcos8α 因sinα不等于0,两边同除有:16cosαcos2αcos4αcos8α=-1又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有 2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1注意到 cos15α=cos2α,cos12α=cos5α, 令 x=cosα+cos2α+cos4α+cos8αy=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α有:x+y=-1/2又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)=1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)经计算知xy=-1又有 x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4其次再设:x1=cosα+cos4α, ????????????? x2=cos2α+cos8αy1=cos3α+cos5α, y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α 故有x1+x2=(-1+√17)/4 y1+y2=(-1-√17)/4 注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4? 注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4=x1+2x12-2y1-2，同理：y1+y2=(-1-√17)/4=y1+2y12-2x2-2=(-1-√17)/4,联立可求出x1,y1 y1=2×O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/32 又cosα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2可求cosα之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。 文洁的正十七边形尺规作图单步详细教程 高斯的正十七边形尺规作图法~ ~ 不过像如何做垂直，如何做平分，我就不详细介绍了 z转帖请注明出处哦~ ~ 下面开始（总共只需要实质性的八大步）： 首先画圆OA……如下图 接着做垂直的另一条直径OB，如图 过B点以以OB为半径画弧 如下图 连接两交点，做出OB中点C 如下图 同样的做出OC中点D 如下图（第一大步：作出1/4长的线段） 连接DA,如下图（DA=根号17/4）（第二大步：） 过D点，以差不多的长度画弧（画长点）交E点 作角ADE的平分线DF（第三大步：），交AO于A1（O A1=（-1+根号17）/16,=0.25x=0.25(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)；D A1=（根号（34-2×根号17））/16），下图： 同样的方法，做角FDE的平分线DG（第四大步：） ，交AO于O1（0.5y1=O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/64，并反向延长一些到刚才那个画长些的