高理数轮复习：十坐标系与参数方程.docVIP

第十七章　坐标系与参数方程 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 一、坐标系 1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用. 2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义. 5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别. 二、参数方程 1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程. 3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程. 4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用. 　　本章重点： 1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程. 2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程. 本章难点： 1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程. 2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程. 　　坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便. 本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性. 高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.  知识网络 17.1　坐标系 典例精析 题型一　极坐标的有关概念 【例1】已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，)，B(5，)，C(－4，)，试判断△ABC的形状，并求出它的面积. 【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝. 又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝4，由余弦定理得 |AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos∠AOC＝52＋(4)2－2×5×4·cos＝133， 所以|AC|＝.同理，|BC|＝. 所以|AC|＝|BC|，所以△ABC为等腰三角形. 又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5， 所以AB边上的高h＝＝， 所以S△ABC＝××5＝. 【点拨】判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长. 【变式训练1】(1)点A(5，)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为　　　 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为　　　　　； (2)点P(－，)与曲线C：ρ＝cos 的位置关系是 . 【解析】(1)(5，－)；(－5，).(2)点P在曲线C上. 题型二　直角坐标与极坐标的互化 【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程. 【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长. 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程. 同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程. (2) 由解得或 即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点， 故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0. 【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到. 【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为d，求d的最大值. 【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9， ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x＋y＝2. 在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)， 则点A到直线的距离为d＝＝，它的最大值为4. 题型三　极坐标的应用 【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线