高等数学(交大)教案.docVIP

微积分的理论基础 内容及基本要求： 1、理解函数的概念 2、理解复合函数的概念，了解反函数的概念 3、掌握基本初等函数的性质及其图形 4、会建立简单实际问题中的函数关系式 5、理解极限的概念（对极限的ε–N、ε–δ定义可在学习过程中逐步加深理解） 6、掌握极限的四则运算法则 7、会用两个重要极限求极限 8、?解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等阶无穷小求极限 9、??理解函数在一点连续的概念 10、了解间断点的概念，并会判断点的类型 11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理） 学习重点：函数概念；复合函数概念；极限概念；极限四则运算法则；两个重要极限；函数连续概念。 学习难点：极限概念。 第一节 函数 一. 函数的概念及其表示法 1.函数的定义 设与是变量,是给定的一个数集.按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称是的函数,记作.其中为函数的定义域, 是自变量, 是因变量. 处的函数值记为,即. 称为函数的值域. 单值函数与多值函数: 如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.本书一般指单值函数. 2.定义域的求法 (1)实际问题由实际意义确定:如自由落体运动,则其定义域为. (2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如,其定义域为. 3.函数的图形 建立直角坐标系后,点的集合: 称为函数的图形. 4.特殊函数 (1)绝对值函数: . (2)符号函数: (3)取整函数: 表示不超过的最大整数.如. (4)分段函数:在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数.如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点. 二. 线性函数的基本属性 1.改变量 对于函数，当自变量在其定义域内从一点变为异于的点时，相应地，函数值从变为，我们称为自变量在处的改变量，简称为自变量的改变量，记作，称为函数在处相应的改变量，简称为函数的改变量，记作 . 2.均匀变化与非均匀变化 对线性函数，无论自变量从哪里开始变化，只要它的改变量一样大，则函数的改变量也一样大。换句话说，线性函数随自变量的变化是均匀的，即 . 三. 复合函数与反函数 1.复合函数 设函数的定义域为,函数在上有定义,而 ,且,那末,对通过函数有确定的与之对应,对于这个通过有确定的与之对应,从而得由复合而成的复合函数,记作,而为中间变量. 注意 (1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如, 就不能复合成一个复合函数. (2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合.此点在求复合函数的导数时很重要.如函数可分解成: 2.反函数 设函数定义域为,值域为.对,总与对应,这样就确定了一个以为自变量的函数,称为的反函数,记作,也记作 .相对于反函数,原来函数称为直接函数. 注意(1)单值函数的反函数不一定是单值函数;但当直接函数不仅单值且单调时,其反函数必为单值函数. (2) 和的图形关于直线对称. 四. 初等函数与双曲函数 1.基本初等函数 .幂函数:,(是常数). .指数函数: ,特别地:. .对数函数:,特别地:. 注意:指数函数与对数函数互为反函数. .三角函数: .反三角函数:. 2.初等函数 由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.如 都是初等函数. 3.双曲函数与反双曲函数 .双曲函数 双曲正弦:,奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,当时,当时, . 双曲余弦:,偶函数,图形关于轴对称.在内,在内.时,当时, . 双曲正切:.奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,且,当时,; 当时, .即为的两条水平渐进线. 性质: . .反双曲函数 反双曲正弦:,(单值). 反双曲余弦:,(主值. 反双曲正切:. 函数举例: 例1 设,求. 解 ; . 例2 设,求. 解 ,即. 例3 设,,且,求及其定义域. 解 ,所以.又,所以 由(1)得;由(2)得,即的定义域为. 例4 设的图形关于直线与对称,则为周期函数. 证明 (关于对称) (关于对称) , 即为周期函数. 五.函数的参数表示与极坐标表示 1.函数的参数表示 把与的函数关系通过变量间接地表示为 上式称为与函数关系的参数表示式，也称为此曲线的参数方程，称为参变量，也称为参数。 2.函数的极坐标表示 在平面上选取一条具有起始点（称为极点）和长度单位的半直线，称为极轴，这样在此平面上就建立