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第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一、集合 (一).集合的相关概念 1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描述的： 描述性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A，B，C，┄ 表示；组 成集合的事物称为元素，用小写字母a，b，c，┄ 表示. 2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ( . 3.几何与元素的关系：元素a属于集合 , 记作； 元素a不属于集合 , 记作或. 4.集合的分类： 有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：不是有限集的集合. 5.集合的表示法： (1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素. 例:有限集合. (2).描述法：所具有的特征}. 例：表示方程的解集. 6.几种常用的数集： 自然数集：； 正整数集：； 整数集：； 有理数集： p 与 q x 为有理数或无理数}1.集合之间的关系 包含关系： 设有集合A和B，若必有 A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 或. 相等关系：若且，则称 A 与 B . 例如, ，，. 下列关系成立 : (1). ；；. (2). 且. 2.集合之间的运算：对集合A 与 B或}； 交集：且}； 差集：且}； 余集(补集)：且}，其中I称为全集； 直积： (笛卡尔直积). 特例：为平面上的全体点集. (三).区间和邻域 1.有限区间 ; ； ; . 2.无限区间： ； ； . 3. 邻域 点a的( 邻域: ； 点a的去心( 邻域: ； 点a的左( 邻域: ； 点a的右( 邻域: . 其中, a 称为邻域中心, ( 称为邻域半径. 4. 区间的直积：. 二、实数集及其完备性 1. 实数集的性质： (1). 封闭性：任意两个实数进行加、减、乘、除 (分母不为零) 运算后，其结果仍然是实数. (2). 有序性：任意两个实数a和b，必满足且仅满足下列三种关系之一：a b，a b，a = ba b，，a c. (3). 稠密性：任意两个不相等的实数之间仍有实数. (4). 完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都对应数轴上唯一 的一个点；反之, 数轴上任意一点也对应唯一的一个实数. 2. 实数集的确界存在定理 (1). 定义1. 设，且，若，使得，都有(或)，则称数 集A有上界（或下界），并称L是A的一个上界（或下界）. 若数集A既有上界又有下界，则称A有界，否则称A无界. (2). 定义2. 设，且，若（或）满足下列条件： ①. ，有 (或; ②. ，, 使 (或)， 则称为数集A的上确界(或为数集A的下确界)，记为(或) 注：1°.上确界是集合的上界中最小的，下确界是集合的下界中最大的. 2°.数集的确界和它的最值是区别的，最值属于集合，而确界不一定属于集合. (3). 确界存在定理: 有上界(或下界)的非空实数集必有上确界(或下确界). 三、映射 1. 映射：设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应法则f , 使得，有唯一确定的与之对应，则称f 为从 X 到 Y 的 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像. X 称为映射 f 的，即; 集合 X 中的元素的像所组成的集合称为映射 f 的或，即 . 注：1°.映射的三要素：定义域, 对应法则, 值域. 2°.元素 x 的像 y 是唯一, 但 y 的原像不一. 2. 映射的分类： 满射：若，则称 f f 为单射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射或一一映射. 注：映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的惯用名称， 例如: 映射f ：X (≠ ( ) (Y (数集)称为X 上的泛函; 映射f ：X (≠ ( ) (X (数集)称为X 上的变换; 映射f ：X (数集或其子集) (R称为X 上的函数. 3. 逆映射：对单射f ：X (Y ，称映射g ：Rf ( X为f的逆映射，记作，其定义域， 值域为. 4.复合映射：称映射g ：X ( Y1，f ：Y2 ( Z ()确定的从X到Z的映射为映射g 和 f构成的复合映射，记作，即. 注：g的值域必须包含在f的定义域，即. 四、函数 1. 函数的概念: 设数集，称映射为定义在D 上的函数，记为 变 变 义 函数图形: . 量 射 量 域 对应规律的表示方法: 解析法（公式法）、图象法、列表法. 注：记号f和法则f (x)的含义不同，f表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而f (x)表示与自变量x对应的函数值，在不至于混淆的情况下，习惯上仍用f (x)表示函数. 2. 函数的几种数学表达式