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习题6(2 1( 求图6(21 中各画斜线部分的面积( (1) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0( 1]( 所求的面积为 . (2) 解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0( 1]( 所求的面积为 ( 解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1( e]( 所求的面积为 ( (3) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[(3( 1]( 所求的面积为 ( (4) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[(1( 3]( 所求的面积为 ( 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积( (1) 与x2(y2(8(两部分都要计算)( 解( ( ( (2)与直线y(x及x(2( 解( 所求的面积为 ( (3) y(ex( y(e(x与直线x(1( 解( 所求的面积为 ( (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (ba0). 解 所求的面积为 3( 求抛物线y((x2(4x(3及其在点(0( (3)和(3( 0)处的切线所围成的图形的面积( 解( y(((2 x(4( 过点(0, (3)处的切线的斜率为4( 切线方程为y(4(x(3)( 过点(3, 0)处的切线的斜率为(2( 切线方程为y((2x(6( 两切线的交点为( 所求的面积为 ( 4( 求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积( 解 2y(y((2p ( 在点处( ( 法线的斜率k((1( 法线的方程为( 即( 求得法线与抛物线的两个交点为和( 法线与抛物线所围成的图形的面积为 ( 5( 求由下列各曲线 所围成的图形的面积; (1)((2acos( ( 解( 所求的面积为 ((a2( (2)x(acos3t, y(asin3t; 解 所求的面积为 ( (3)(=2a(2+cos( ) 解 所求的面积为 ( 6( 求由摆线x(a(t(sin t)( y(a(1(cos t)的一拱(0(t(2()与横轴 所围成的图形的面积( 解( 所求的面积为 ( 7( 求对数螺线((ae(((((((()及射线(((所围成的图形面积( 解 所求的面积为 ( 8( 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积( (1)((3cos( 及((1(cos( 解 曲线((3cos( 与((1(cos( 交点的极坐标为( ( 由对称性( 所求的面积为 ( (2)及( 解 曲线与的交点M的极坐标为M( 所求的面积为 ( 9( 求位于曲线y=ex下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积( 解 设直线y(kx与曲线y(ex相切于A(x0( y0)点( 则有 ( 求得x0(1( y0(e( k(e ( 所求面积为 ( 10( 求由抛物线y2(4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值( 解 设弦的倾角为(( 由图可以看出( 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 ( 显然当时( A1(0( 当时( A1(0( 因此( 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 ( 11( 把抛物线y2(4ax及直线x(x0(x0(0)所围成的图形绕x轴旋转( 计算所得旋转体的体积( 解 所得旋转体的体积为 ( 12( 由y(x3( x(2( y(0所围成的图形( 分别绕x轴及y轴旋转( 计算所得两个旋转体的体积( 解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为 ( 绕y轴旋转所得旋转体的体积为 ( 13( 把星形线所围成的图形( 绕x轴旋转( 计算所得旋转体的体积