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高等数学向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何(数学一)
§5.1 向量代数
一.空间直角坐标系
从空间某定点作三条互相垂直的数轴,都以为原点,有相同的长度单位,分别称为轴,轴,轴,符合右手法则,这样就建立了空间直角坐标系,称为坐标原点。
1.两点间距离
设点,为空间两点,则这两点间的距离可以表示为
2.中点公式
设为,联线的中点,则
二.向量的概念
1.向量
既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质,它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系,而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点,点叫终点,向量的长度叫做模,记为。
模为的向量称为单位向量。
2.向量的坐标表示
若将向量的始点放在坐标原点,记其终点,且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为,则向量可以表示为
称之为向量的坐标表达式,也可以表示为
称分别为向量在轴,轴,轴上的分量。称分别为向量在轴,轴,轴上的投影。
记与轴、轴、轴正向的夹角分别为,则
方向余弦间满足关系
描述了向量的方向,常称它们为向量的方向角。的模可以表示为
与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。 向量同方向上的单位向量常记为。
三.向量的运算
1.加法。 减法。
2.数乘。(是常数) 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。
3.数量积。 其中为向量间夹角
为数量也称点乘。 表示向量在向量上的投影,即
4.向量积也称为叉乘。
的方向按右手法则垂直于所在平面,且
是向量,。等于以为邻边的平行四边形的面积。
5.混合积:定义,坐标公式
几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。
四.两向量间的关系
设
关系 向量表示 向量坐标表示 间夹角 与垂直 与平行 §5.2 平面与直线
一.空间解析几何
1.空间解析几何研究的基本问题
(1)已知曲面(线)作为点的几何轨迹,建立这曲面(线)的方程。
(2)已知坐标和间的一个方程(组),研究这方程(组)所表示的曲面(线)。
2.距离公式 空间两点与间的距离为
3.定比分点公式 是的分点:,点的坐标为,则
当为中点时,
二.平面及其方程
1.法(线)向量,法(线)方向数。
与平面垂直的非零向量,称为平面的法向量,通常记成。法向量的坐标称为法(线)方向数。对于给定的平面,它的法向量有无穷多个,但它所指的方向只有两个。
2.点法式方程 已知平面过点,其法向量,则平面的方程为
或 其中
3.一般式方程
其中不全为零。前的系数表示的法线方向数,是的法向量。
特别情形:
,表示通过原点的平面。
,平行于轴的平面。
,平行平面的平面。
表示平面。
4.三点式方程
设,,三点不在一条直线上,则通过的平面方程为
5.平面束
设直线的一般式方程为,则通过的所有平面方程为,其中。
6.有关平面的问题
两平面为
与间
夹角 垂直条件 平行条件 重合条件 设平面的方程为,而点为平面外的一点,则到平面的距离:
三.直线及其方程
1.方向向量、方向数
与直线平行的非零向量,称为直线的方向向量,方向向量的坐标称为方向数。
2.直线的标准方程(对称式方程)。
其中为直线上的点,为直线的方向数。
3.参数式方程
为参变量。
4.两点式
设,为不同的两点,则通过和的直线方程为
5.一般式方程(作为两平面的交线):
,方向向量
6.有关直线的问题
两直线为
与间夹角 垂直条件 平行条件 四.平面与直线相互关系
平面的方程为:
直线的方程为:
与间夹角() 与垂直条件 与平行条件 与重合条件
上有一点在上 §5.3 曲面与空间曲线
一.曲面方程
1.一般方程
2.参数方程
(平面区域)
二.空间曲线方程
1.一般方程
2.参数方程
三.常见的曲面方程
1.球面方程
设是球心,是半径,是球面上任意一
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