高等数学复旦大学出版社习题答案.docVIP

习题五 求下列各曲线所围图形的面积： 与x2+y2=8(两部分都要计算)； 解：如图D1=D2 解方程组得交点A(2，2) (1) ∴ , ． 与直线y=x及x=2； 解： . (2) y=ex，y=e?x与直线x=1； 解：． (3) y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(ba0)； 解：． (4) 抛物线y=x2和y=?x2?2； 解：解方程组得交点 (1，1)，(?1，1) ． (5) y=sinx，y=cosx及直线； 解： ． (6) 抛物线y=?x2+4x?3及其在(0，?3)和(3，0)处的切线； 解：y′=?2x+4．　∴y′(0)=4，y′(3)=?2． ∵抛物线在点(0，?3)处切线方程是y=4x?3 在(3，0)处的切线是y=?2x+6 两切线交点是(，3)．故所求面积为 (7) 摆线x=a(t?sint)，y=a(1?cost)的一拱 (0(t(2()与x轴； 解：当t=0时，x=0, 当t=2(时，x=2(a． 所以 (8) 极坐标曲线 ρ=asin3φ； 解： ． (9) ρ=2acosφ； 解： ． (10) 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： r=a(1+cosθ)及r=2acosθ; 解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2． (11) 及． 解：如图12，解方程组 得cosθ=0或, 即或． (12) ． 已知曲线f(x)=x?x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a． 解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1?a，a(1?a)) ∴ 依题意得 得a=?2． (13) 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。 解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为： (16) 对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： ，同理可得该椭圆的另一半轴为： ． 故该椭圆面积为 从而立体的体积为 . 5. 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17. (17) 解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2． 过区间[?R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于 从而该立体的体积为 ． 求下列旋转体的体积： 由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转； 解： 求两曲线交点得(0，0)，(1，1) ． （14） （2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转； 解：见图14， ． 星形线绕x轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是： ， 由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为 (15) 求下列曲线段的弧长： ，0≤x≤2； 解：见图18，2yy′=2． ∴．从而 (18) y=lnx，； 解： ． ； 解： =4. 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a0求 星形线所围面积； 绕x轴旋转所得旋转体的体积； 星