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高等数学教学大纲 课程编号课程名称：高等数学 英文名称：Advanced Mathematics ( Calculus ) 学时：160 学分：10 适用专业：全院理、工、经管各专业 课程性质：必修 执笔人： 杨金远 先修课程：初等数学 编写日期：1999年4月 修订日期: 2002年4月 2005年4月 2006年12月 高等数学教学大纲 一、课程教学目标 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。 “高等数学”是高等学校工科类专业本科生必修的重要基础理论课。通过课程的学习，应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量方面的数学基础。在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。 二、教学内容及基本要求 课程的教学基本要求，是工科院校本科生学习本课程都应当达到的合格要求，其中带*号的条目是为某些相关专业选用的，也是对选用专业学生的基本要求。 课程内容按教学要求的不同，分为两个层次。文中用黑体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 1. 函数、极限、连续 (1) 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。 (2) 理解复合函数的概念，了解反函数的概念。 (3) 会建立简单实际问题中的函数关系式。 (4) 理解极限的概念，了解极限的定义（不要求学生做给出求或的习题）。 (5) 掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。 (6) 了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限与求极限。 (7) 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。 (8) 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。 (9) 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。 (10) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。 2. 一元函数微分学及其应用 (1) 理解导数的概念及其几何意义（不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题），了解函数的可导性与连续性之间的关系。 (2) 了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 (3) 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。 (4) 理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。 (5) 了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的阶导数的一般表达式）。 (6) 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。 (7) 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧），会用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限。 (8) 了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）。 (9) 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。 (10) 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。 (11) 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 (12) 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。 3. 一元函数积分法及其应用