高等数学方明亮版答案曲线积分与曲面积分习题详解.docVIP

高等数学方明亮版第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 习题9.1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1），其中是圆中到之间的一段劣弧； 解: 的参数方程为： ，于是 ． （2），其中是顶点为及所成三角形的边界； 解: 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有 ， 由于:，，于是 ， 故 ， 而,，于是 ． 故 ， 同理可知（），，则 ． 综上所述 ． （3），其中为圆周； 解 直接化为定积分．的参数方程为 ,（）, 且 ． 于是 ． （4），其中为折线段，这里， ； 解 如图所示， ． 线段的参数方程为 ，则 ， 故 ． 线段的参数方程为，则 故 ， 线段的参数方程为，则 ， 故 所以 ． （5），为球面与平面的交线。 解 先将曲线用参数方程表示，由于是球面 与经过球心的平面的交线，如图所示，因此是空间一个半径为的圆周，它在平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去而得到，即以代入有，将其化为参 数方程，令，即 ， ，即有 ，代入（或中） 得，从而的参数方程为 ，，． 则 　　　 　 , 所以 ． 2 设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量． 解 依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中 ．则的参数方程为 ， 故 ， 所以 ． 3 求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。 解 设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、，曲线的重心坐标为，则曲线的质量为．由对称性可得重心坐标 ． 故所求重心坐标为． 习题9.2 1 设为面内一直线（为常数），证明 。 证明：设是直线上从点到点的一段，其参数方程可视为 ，（）， 于是 。 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中为抛物线上从点到点的一段弧。 解 将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到。因此 。 （2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧； 解 的方程为，则有 ． 的方程为，则 ． 所以 ． （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0．则 =． （4），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取，则 。 （5），其中为从点到点的直线段； 解 直线的方程为 化成参数方程得 ，，，从变到。 所以 。 （6），为椭圆周且从轴正方向看去，取顺时针方向。 解 的参数方程为 ，，，从变到， 。 3 设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。 解 因为力 所以 。 习题9.3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；） 解 。 (2) 圆，（）； 解 设圆的参数方程为,从变到.那么 。 （3）双纽线，（）。 解 把双纽线的参数方程代入到公式即可求得所要求的面积。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) ，其中是圆，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线所围成闭区域为，这里 ，，，， 由格林公式，得 。 (2) ，其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。 解 令，，则，且线段，由1变化到-1，故有 ． 其中为所围成的闭区域． (3) ，其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧； 解 如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为 ，从变到。 则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令 ，， ，， 由格林公式，得 。 而 ， 故