高等数学模拟题(开卷).docVIP

《高等数学（二）》模拟题（补） 一．填空题 1．设 则 ___0____ , __1_____． 2．已知, 则 _______． 3. 设，则 ． 4．改变积分次序后，I=____________． 5. 设L是圆周：, 则曲线积分 =________． 6. =____2____, 其中. 7．若级数收敛，则 1 ． 8．幂级数的收敛区间是 (-1,1) ． 9．=(1，-5，8)，=(-1，-1，4)，则= 6 ． 10．函数的间断点是 ． 11．改变积分次序后，I=____________． 12. 设L是圆周：, 则曲线积分 =________． 13．若级数收敛，则 ． 14．幂级数的收敛区间是 (-1,1) ． 二．单项选择题 1．函数的定义域是（ A ）。 A． B． C． D． 2．下列与向量垂直的平面方程是（ C ）。 A B C D 都不对 3．将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分，则（ D ）。 A． B． C． D． 4． 若是平面内一闭区域的正向边界曲线，则曲线积分等于二重积分（ B ）。 A． B． C． D． 5．函数在点处连续是函数在该点处可导的（ D ）。 A．充分但不必要条件；　　 B．必要但不充分条件； C．充要条件；　　　 D．既不充分也不必要条件． 6．级数敛散性是（ B ） A． 发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D．以上都不对 三．计算题 1．求由方程所确定的隐函数的偏导数和。 解：令, 则 ，，. 所以, . 2. 求二重积分, 其中。 解：区域.采用为极坐标，令 ， ，极点在区域内，，, 故 = ==． 3. 判定级数 的敛散性。 解： ==1 (重要极限)由比值判别法，级数收敛。 4．设，，，求 解： 5．求, 其中D由抛物线，直线和围成的区域。 解：联立，得，（舍去） ===2 四．应用题 1．已知平面过点且与直线和都平行，试求此平面方程。 解：两已知直线的方向向量分别为，平面与直线平行，则平面的法向量与直线的方向向量垂直 由⊥，有 （1） 由⊥，有 （2） 联立（1），（2）求得,只有 又因为平面经过点，代入平面一般方程得 所以 故所求平面方程，即，也就是平面。 2．求由曲面, 柱面 及所围的曲顶柱体的体积。 解: 3．求过点且与平面和都平行直线方程。 解：与两平面平行的直线与这两个平面的法向量垂直，则直线的方向向量垂直于这两平面法向量所确定的平面，即直线的方向向量可取为 , 又直线过已知点, 故直线方程为 ． 4．在半径为的球内接一长方体，问长、宽、高各为多少时，其体积最大？ 解：设此内接长方体的长、宽、高分别为，则体积为，定义域为，限制条件为球面方程 （1） 构造拉格朗日函数 令 则有. 所以, 代入限制条件（1）式得 ，，因为，故取 所以，. 由题意知，此时长方体的体积最大，所以长、宽、高均为的，体积最大，最大值为。 五．证明题 1. 设 , 求证： 证明: 中国地质大学（北京）继续教育学院 2015年05课程考试 第1页（共6页）