高等数学章曲线积分与曲面积分.docVIP

第十章 曲线积分与曲面积分 教学目的： 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 知道散度与旋度的概念，并会计算。 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点: 两类曲线积分的计算方法； 格林公式及其应用； 两类曲面积分的计算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点： 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 §10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量( 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上( 已知曲线形构件在点(x( y)处的线密度为((x( y)( 求曲线形构件的质量( 把曲线分成n小段( (s1( (s2( ( ( (( (sn((si也表示弧长)( 任取((i ( (i)((si( 得第i小段质量的近似值(((i ( (i)(si( 整个物质曲线的质量近似为( 令((max{(s1( (s2( ( ( (( (sn}(0( 则整个物质曲线的质量为 ( 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到( 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧( 函数f(x( y)在L上有界( 在L上任意插入一点列M1( M2( ( ( (( Mn(1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为(si( 又((i( (i)为第i个小段上任意取定的一点( 作乘积f((i( (i)(si( (i(1( 2(( ( (( n )( 并作和( 如果当各小弧段的长度的最大值((0( 这和的极限总存在( 则称此极限为函数f(x( y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分( 记作( 即( 其中f(x( y)叫做被积函数( L 叫做积分弧段( 设函数f(x( y)定义在可求长度的曲线L上( 并且有界( 将L任意分成n个弧段( (s1( (s2( ( ( (( (sn( 并用(si表示第i段的弧长( 在每一弧段(si上任取一点((i( (i)( 作和( 令((max{(s1( (s2( ( ( (( (sn}( 如果当((0时( 这和的极限总存在( 则称此极限为函数f(x( y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分( 记作( 即 ( 其中f(x( y)叫做被积函数( L 叫做积分弧段( 曲线积分的存在性( 当f(x( y)在光滑曲线弧L上连续时( 对弧长的曲线积分是存在的( 以后我们总假定f(x( y)在L上是连续的( 根据对弧长的曲线积分的定义(曲线形构件的质量就是曲线积分的值( 其中((x( y)为线密度( 对弧长的曲线积分的推广( ( 如果L(或()是分段光滑的( 则规定函数在L(或()上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和( 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2( 则规定 ( 闭曲线积分( 如果L是闭曲线( 那么函数f(x( y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 ( 对弧长的曲线积分的性质( 性质1 设c1、c2为常数( 则 ( 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2( 则 ( 性质3设在L上f(x( y)(g(x( y)( 则 ( 特别地( 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义( 如果曲线形构件L的线密度为f(x( y)( 则曲线形构件L的质量为 ( 另一方面( 若曲线L的参数方程为 x(((t)( y(( (t) (((t(()( 则质量元素为 ( 曲线的质量为 ( 即 ( 定理 设f(x( y)在曲线弧L上有定义且连续( L的参数方程为 x(((