高等数学重积分总结.docVIP

第九章 二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域的分法要任意，二是在每个小区域上的点的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一个极限，才能称二元函数在区域D上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D上≥0，则表示以区域D为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当＝1时，表示平面区域D的面积。 (2) 若在D上≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D成n个小区域同时用表示它们的面积，其中任意两小块和除边界外无公共点。既表示第i小块,又表示第i小块的面积. 近似、求和 对任意点 ,作和式 取极限 若为的直径，记,若极限 存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为 称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，为面积微元(或面积元素). 2.二重积分 的几何意义 (1) 若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的存在定理 3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积). 3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积. 4．二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 性质3 若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则 性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则 性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 推论 性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点,使 【基本问题导引】 根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题： 1． ，其中 2．设D是由轴，轴与直线所围成的区域，则的大小关系是 . 【巩固拓展提高】 1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上有，试证明在D内恒有f(x,y)＝0 2．估计的值，其中 3